Lemma di Gauss (teoria dei numeri): differenze tra le versioni

In [[teoria dei numeri]], il '''lemma di Gauss''', che ha preso il nome da [[Carl Friedrich Gauss]], è un [[teorema]] utilizzato in alcune [[dimostrazione matematica|dimostrazioni]] sulladella [[reciprocità quadratica]].

Per ogni [[numero primo|primo]] dispari ''p'', sia ''a'' un intero [[coprimo]] con ''p''. Si considerino gli [[numero intero|interi]]:

e i loro residui modulo ''p'' ridotti nell'intervallo <math>\left[-\frac{p/}{2}, \frac{p/}{2}\right]</math>. Sia ''s'' il numero di questi residui che sono negativi. Allora:

dove (''a''/''p'') è il [[simbolo di Legendre]]. Da un punto di vista piuttosto sofisticato, ciò rappresenta un caso di [[trasferimento (teoria dei gruppi)|trasferimento]].

Per il [[criterio di Eulero]] si sa che

<math>\left(\frac{a}{p}\right) = a^\frac{p-1}{2} \pmod{p}</math> Mod p

moltiplicando entrambi i membri per il [[fattoriale]] di (<math>\frac{p-1)/}{2}</math>

<math>\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{p-1}{2}\right)! = \prod_{n=1}^{\frac{p-1}{2}}an \pmod{p} </math> Mod p

consideriamo adesso i residui di <math>an</math> ridotti nell'intervallo <math>\left[-\frac{p/}{2}, \frac{p/}{2}\right]</math>. Allora:

-#non ci sono due residui uguali; infatti se

<math>ak_1=ak_2 \pmod{p}</math> Mod p

allora <math>p|k1k_1-k2k_2</math>, eed essendo k1<math>k_1,k2k_2<p</math>, ciò e possibile solo se k1<math>k_1=k2k_2</math>

-#non ci sono due residui uguali opposti; infatti se

<math>ak_1 = -ak_2 \pmod{p}</math> Mod p

allora <math>p|k1k_1+k2k_2</math> ma essendo k1<math>k_1,kk_2 < \frac{p/}{2}</math> ciò è impossibile.

quindiDi conseguenza i [[valore assoluto|valori assoluti]] dei residui <math>an</math> sono tutti diversi e il loro prodotto vale

dove <math>s</math> è il numero dei residui negativi, quindi

<math>\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{p-1}{2}\right)! =\left(\frac{p-1}{2}\right)!\left(-1\right)^s \pmod{p}</math> Mod p

e semplificando per il fattoriale di (<math>\frac{p-1)/}{2}</math> si ottiene la tesi: