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Riga 2: ==Definizione== In maniera precisa, se ''L'' è un [[campo (matematica)\|campo]] e ''K'' è un campo contenuto in ''L'' tale che le operazioni di campo in ''K'' sono le stesse di quelle in ''L'', diciamo che ''K'' è un sottocampo di ''L'', che ''L'' è un'estensione di ''K'' e che ''L'' /K ''K''<ref name=quoz>Occorre precisare che in questo caso non si sta compiendo alcuna operazione di passaggio all'[[insieme quoziente]], come invece si fa per la creazione ad esempio dell'[[anello quoziente]]. Per tale motivo alcuni autori preferiscono la scrittura ''L'' : ''K''</ref> è un'estensione di campi. ==Struttura lineare== Se ''L'' / ''K'' è un'estensione di campi, allora su ''L'' si può definire una moltiplicazione ''L'' × ''K'' → ''L'', che non è altro che la moltiplicazione di ''L'' come campo ottenuta restringendo il secondo argomento a ''K''. Considerando questa moltiplicazione per gli "scalari" di ''K'' e la somma usuale di ''L'', otteniamo una struttura di [[spazio vettoriale]] sopra ''K''. La [[dimensione (spazio vettoriale)\|dimensione]] di questo spazio vettoriale si denota con [ ''L'' : ''K'' ] e si dice '''grado dell'estensione'''. Se tale grado è finito o infinito l'estensione si dirà rispettivamente '''finita''' o '''infinita'''. Se ''F'' è un intercampo dell’estensione ''L'' / ''K'' (cioè un sottocampo di ''L'' tale che ''K'' ⊆ ''F'' ⊆ ''L'') allora vale la formula del prodotto dei gradi, :[ ''L'' : ''K'' ] = [ ''L'' : ''F'' ] [ ''F'' : ''K'' ], con valore puramente simbolico se uno dei valori è infinito. Tutte le estensioni trascendenti sono di grado infinito. Questo implica immediatamente che tutte le estensioni finite sono algebriche. L'inverso non è tuttavia vero: esistono estensioni algebriche infinite. Ad esempio, il campo di tutti i [[numero algebrico\|numeri algebrici]] è un'estensione algebrica infinita di '''Q'''. Se ''a'' è algebrico su ''K'', allora ''K''[''a''], cioè l'insieme di tutti i polinomi in ''a'' con coefficienti in ''K'', è un campo; in particolare è un'estensione di campo algebrica di ''K'' di grado finito su ''K''. Il grado è pari al grado del più piccolo polinomio ''p'' di cui ''a'' è radice. Nel caso particolare in cui ''K'' = '''Q''' è il [[numero razionale\|campo dei numeri razionali]], '''Q'''[''a''] è un esempio di [[campo numerico algebrico]]. ==Generatori di un’estensione== Data l'estensione ''L'' / ''K'' e un [[sottoinsieme]] ''A'' di ''L'', si indica con ''K'' ( ''A'' ) il più piccolo sottocampo di ''L'' che contiene ''K'' e ''A'' (e sarà dunque anch'esso un estensione del campo ''K'') e si dice che ''K'' ( ''A'' ) è ottenuto da ''K'' per ''aggiunta'' degli elementi di ''A''. Questi elementi sono detti '''generatori''' dell’estensione ''L'' / ''K''. Si prova che l’estensione ''K'' ( ''A'' ) / ''K'' risulta essere composta da tutti gli elementi di ''L'' che si possono ottenere mediante ripetizione delle operazioni di campo di ''L'' (somma, prodotto e inverso) tra elementi di ''K'' ∪ ''A''. Un'estensione di campi ''L'' / ''K'' tale che esiste un [[insieme finito]] ''A'' = { ''a''<sub>1</sub>,..., ''a''<sub>n</sub> } con ''L'' = ''K'' ( ''A'' ) si dice '''finitamente generata''' e si scrive ''L'' = ''K'' ( ''a''<sub>1</sub>,..., ''a''<sub>n</sub> ). Se poi ''L'' = ''K'' ( ''Aa'' ) per un qualche elemento ''a'' di ''L'' l’estensione si dice '''semplice'''. ==Estensioni algebriche e di Galois== Per molti settori della teoria dei campi, come ad esempio la [[teoria di Galois]], una notevole importanza hanno le '''[[estensione algebrica\|estensioni algebriche]]''', ossia le estensioni ''L'' / ''K'' tali che ogni elemento di ''L'' è radice di un polinomio in ''K'' [ ''X'' ]. Usando il [[lemma di Zorn]] è possibile dimostrare che ogni campo ha una [[chiusura algebrica]], cioè un'estensione algebrica [[campo algebricamente chiuso\|algebricamente chiusa]] (ad esempio '''C''' è la chiusura algebrica di '''R''').

Estensione di campi: differenze tra le versioni