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Riga 1: In [[geometria differenziale]], i '''simboli di Christoffel''' sono dei coefficienti che codificano completamente una [[connessione (matematica)\|connessione]] in una [[atlante (topologia)\|carta]] particolare. I simboli dipendono fortemente dalla carta scelta: questi non sono infatti dei [[tensore\|tensori]]. Prendono il nome dal matematico [[Elwin Bruno Christoffel]]. ~~Le trasformazioni in [[relatività speciale]] sono fatte fra sistemi di riferimento inerziali: in [[relatività generale]] le trasformazioni sono fatte fra generici sistemi di riferimento, cioè~~ == Definizione == <math>▼ Sia <math>M</math> una [[varietà differenziale]] dotata di una [[connessione (matematica)\|connessione]], ovvero di una [[derivata covariante]] <math>\nabla</math>. ~~y^\alpha \to x^\mu \left( y \right).~~ Una [[atlante (topologia)\|carta]] fornisce un [[diffeomorfismo]] fra un aperto di <math>M</math> ed un aperto <math>A</math> di <math>\R^n</math>. Nell'aperto <math>A</math> sono definiti i campi di vettori coordinati costanti <math>e_1,\ldots, e_n</math> e quindi tutti i tensori possono essere agevolmente scritti in coordinate. In un punto di <math>A</math>, la derivata covariante del campo <math>e_i</math> nella <math>j</math>-esima direzione è una [[combinazione lineare]] </math>▼ :<math>\nabla_j e_i = \Gamma^1_{ij} e_1 + \ldots + \Gamma^n_{ij} e_n = \Gamma^k_{ij} e_k.</math> con alcuni coefficienti <math>\Gamma^k_{ij}</math>. Nell'ultima espressione si fa uso della [[notazione di Einstein]]. Questi coefficienti sono i '''simboli di Christoffel''' della connessione, nella carta scelta. I simboli di Christoffel sono definiti per ogni punto: quindi ogni <math>\Gamma^k_{ij}</math> è una funzione liscia ~~Definiamo allora i simboli di Christoffel come~~ :<math>\Gamma^k_{ij}:A \to \R </math> dipendente da tre parametri <math>i,j,k</math>. I simboli di Christoffel descrivono completamente e concretamente la derivata covariante <math>\nabla </math> nella carta. == Proprietà == <math>▼ === Oggetto non tensoriale === ~~\Gamma ^\sigma _{\mu \nu } \left( x \right) = \frac{{\partial ^2 y^\alpha }}~~ Nonostante la notazione, i simboli di Christoffel non sono dei [[tensore\|tensori]]: il loro comportamento dipende fortemente dalla carta scelta. ~~{{\partial x^\mu \partial x^\nu }}\frac{{\partial x^\sigma }}~~ ~~{{\partial y^\alpha }}.~~ ~~</math>~~ === Dipendenza dalla metrica === ~~Risulta anche~~ In una carta, è possibile ricavare i simboli di Christoffel dal tensore metrico e dalle sue derivate tramite la formula seguente. :<math>\Gamma_{ij}^m=\frac12 g^{km} \left( ~~<math>~~ ~~\Gamma~~ ~~^\sigma~~ ~~_{\mu~~ ~~\nu~~ } = \frac{1\partial}{\partial x^i} g_{kj} +\frac{\partial}{\partial x^j} g_{ik} ~~{2}g^{\sigma \alpha } \left( {g_{\alpha \mu ,\nu } + g_{\alpha \nu ,\mu } - g_{\mu \nu ,\alpha } } \right),~~ -\frac{\partial}{\partial x^k} g_{ij} \right). </math> == Applicazioni == ~~dove <math>g_{\mu \nu}</math> è il [[tensore metrico]].~~ === Derivata covariante di un campo tensoriale === La derivata covariante di un [[campo vettoriale]] <math>v</math> può essere calcolata in una carta facendo uso dei simboli di Christoffel nel modo seguente: ~~I simboli di Christoffel si usano per definire le derivate [[covarianti]] dei vettori in [[relatività generale]]: si ha infatti~~ ▲:<math> \nabla_j v^i=\frac{\partial v^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}v^k. ~~<math>~~ ~~\nabla _\alpha A^\beta = A^\beta _{;\alpha } = A^\beta _{,\alpha } + \Gamma ^\beta _{\alpha \sigma } A^\sigma ,~~ </math> Analogamente, la derivata covariante di un [[campo tensoriale]] di tipo (0,1) è data da: :<math> \nabla_j v_i=\frac{\partial v_i}{\partial x^j}-\Gamma^k_{ij} v_k ~~\nabla _\alpha A_\beta = A_{\beta ;\alpha } = A_{\beta ,\alpha } - \Gamma ^\sigma _{\alpha \beta } A_\sigma .~~ ▲</math> La derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (2,0) è data da: ▲:<math> \nabla_k v^{ij}=\frac{\partial v^{ij}}{\partial x^k} +\Gamma^i_{k\ell}v^{\ell j}+\Gamma^j_{k\ell}v^{i\ell} </math> == Voci correlate == ~~Le derivate [[covarianti]] misurano la variazione intrinseca dei vettori, al netto della variazione spuria dovuta al trasporto parallelo nello spazio curvo.~~ * [[Connessione di Levi-Civita]] * [[Derivata covariante]] * [[Tensore di Riemann]] {{Portale\|matematica}}

Simbolo di Christoffel: differenze tra le versioni