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Se un preordine è anche [[relazione simmetrica|antisimmetrico]] (cioè se ''a'' ≤ ''b'' e ''b'' ≤ ''a'' implica ''a'' = ''b'') allora è una [[relazione d'ordine]] o ordine parziale.
A partire da ogni preordine è possibile costruire un ordine parziale identificando i punti "uguali". Formalmente, si definisce una [[relazione d'equivalenza]] ~ su ''X'' tale che ''a'' ~ ''b'' [[se e solo se]] ''a'' ≤ ''b'' e ''b'' ≤ ''a''. Allora l'[[insieme quoziente]] ''X'' / ~, cioè l'insieme di tutte le [[classe d'equivalenza|classi d'equivalenza]] definite da ~, può facilmente essere ordinato definendo [''x''] ≤ [''y''] se e solo se ''x'' ≤ ''y''. Si può verificare facilmente che questo porta ad un insieme parzialmente ordinato.
==Esempi==
L'[[insieme delle parti]] di un insieme ''X'' munito della relazione ''A'' ≤ ''B'' se esiste una [[funzione iniettiva]] da ''A'' a ''B'' è un preordine [[ordine totale|totale]].
In generale, ogni insieme su cui sia definita una [[funzione (matematica)|funzione]] a valori in un insieme preordinato eredita da esso la struttura di preordine, mediante la definizione ''x'' ≤ ''y'' se ''f''(''x'') ≤ ''f''(''y''). Moltissimi esempi di preordini si possono costruire con questo metodo, dove tipicamente l'insieme di arrivo sono i [[numero reale|numeri reali]]; anche l'esempio qua sopra ne è un caso particolare: la funzione "nascosta" è quella che a ogni insieme associa la sua [[cardinalità]] (l'enunciato dato in termini di funzioni iniettive è equivalente).
== Voci correlate ==
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