Mappa esponenziale: differenze tra le versioni
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In [[geometria differenziale]], la '''mappa esponenziale''' è una [[funzione (matematica)|funzione]] che mappa lo [[spazio tangente]] in un punto di una [[varietà riemanniana]] o [[varietà pseudo-riemanniana|pseudo-riemanniana]] sulla varietà stessa. La mappa esponenziale è utile a rappresentare un [[intorno]] di un punto tramite '''coordinate geodetiche'''.
== Definizione ==
Sia <math>p</math> un punto in una [[varietà
:<math>{\rm exp}:U\to M \,\!</math>
definita su un [[insieme aperto]] <math>U</math> dello [[spazio tangente]] <math>T_p</math> in <math>p</math> contenente l'origine, nel modo seguente.
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=== Raggio di iniettività ===
Benché lo sia in un intorno dell'origine, la mappa esponenziale non è però necessariamente globalmente [[funzione iniettiva|iniettiva]]: il [[raggio di iniettività]] di una varietà riemanniana <math>M</math> in <math>x</math> è il massimo numero <math>R</math> tale che la mappa
:<math>f|_{B_R}:B_R\to M\,\!</math>
ristretta alla [[palla (matematica)|palla]] di raggio <math>r</math> centrata in zero è iniettiva. La palla è
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=== Definizione ===
Siam <math>p</math> un punto di una varietà (pseudo-)riemanniana <math>M</math>. Lo spazio tangente <math>T_pM</math> è dotato di un [[prodotto scalare definito positivo]], dato dal [[tensore metrico]]. Lo spazio è quindi identificabile con lo [[spazio euclideo]] <math>\R^n</math>: per ottenere questa identificazione è sufficiente scegliere una [[base ortonormale]].
Sia <math>U</math> un intorno dell'origine nello spazio tangente <math>T_pM</math> su cui la mappa esponenziale è un diffeomorfismo. Questo aperto è identificato con un aperto di <math>\R^n</math>. Conseguentemente, l'immagine <math>\operatorname{exp}(U)</math> è identificata con questo aperto. L'identificazione fornisce un [[sistema di coordinate]], detto '''geodetico''' o '''normale'''.
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In particolare, si annullano le derivate prime del tensore metrico:
:<math>\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^k}(p) = 0.</math>
==== Simboli di Christoffel e derivata covariante====
I [[simbolo di Christoffel|simboli di Christoffel]] si annullano in <math>p</math>:
:<math> \Gamma^i_{jk}(p) = 0.</math>
La [[derivata covariante]] nel punto <math>p</math> quindi coincide con la [[derivata parziale]].
== Bibliografia ==
*{{en}} {{cita libro|titolo = Riemannian Geometry|nome=Manfredo Perdigao | cognome = do Carmo | anno = 1994}}
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