Serie di Laurent: differenze tra le versioni
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Ricordiamo che i coefficienti <math>a_n</math> non sono in generale la rappresentazione di Cauchy delle derivate n-esime della funzione come nel cao di Taylor, a meno che <math>z_0</math> non sia un punto regolare allora la serie di Laurent coinciderebbe con al serie di Taylor.
*Nel caso in cui tutti i coefficienti negativi della serie di Laurent siano nulli, la serie di Laurent coinciderebbe con la serie di Taylor, cioè <math>z_0</math> sarebbe sicuramente un punto regolare e il dominio anulare diverrebbe un cerchio di convergenza. Questo vale anche inversamente: se <math>z_0</math> non fosse un punto singolare per la funzione allora la funzione integranda dei coefficienti sarebbe analitica entro ''C'' e l'integrale di <math>a_n</math> sarebbe nullo, annullando così tutti i coefficienti di ordine negativo.▼
▲*
:<math>f(z) = \frac{a_{-k}}{(z-z_0)^k} + \frac{a_{-k+1}}{(z-z_0)^{k+1}} + \dots + a_0 + a_1 (z-z_0) + a_2 (z - z_0)^2</math>▼
*La serie di Laurent potrebbe contenere un numero finito di potenze negative, diciamo <math>N = -k</math>, allora il punto <math>z_0</math> è un [[Polo (analisi complessa)|polo]] di ordine k per la funzione e vale anche il viceversa.
e quindi ▼
*
:<math>\lim_{z \to z_0} f(z) (z - z_0)^k = a_{-k}</math>▼
=== Serie di Laurent e poli ===
Di particlare importanza è il caso in cui la serie contiene un numero finito di potenze di ordine negative, cioè la funzione ha un polo dello stesso ordine in <math>z_0</math>.
▲*Se la serie di Laurent non si ferma dalla parte negativa allora il punto <math>z_0</math> sarebbe una [[Singolarità isolata|singolarità essenziale]] non essendo nè un punto di diramazione (nell'ipotesi in cui <math>f(z)</math> sia [[Funzione monodroma|monodroma]]), nè un polo e nè una [[Singolarità isolata|singolarità eliminabile]].
'''Teorema'''
Una funzione <math>f(z)</math> che abbia un polo di ordine <math>N</math> in <math>z_0</math> è rappresentata da una serie di Laurent a partire da potenze negative dello stesso ordine N e viceversa.
Infatti consideriamo che un polo di ordine N per la <math>f(z)</math> è uno [[Zero (Analisi complessa)|zero]] di ordine N per la funzione <math>g(z) = 1 / f(z)</math>. Quindi <math>g(z)</math> che ha uno zero di ordine N in <math>z_0</math> è rappresentabile nella forma:
dove <math>\phi(z)</math> è analitica in un intorno di <math>z_0</math> e non nulla in <math>z_0</math>, quindi la sua inversa <math>1/\phi(z)</math> è analitica in <math>z_0</math> ed è sviluppabile in [[serie di Taylor]]:
:<math>\frac{1}{\phi(z)} = C_{-N} + (z - z_0) C_{-N + 1} + \dots</math>
allora la funzione è scrivibile:
:<math>f(z) = \frac{1}{g(z)} = \frac{1}{(z-z_0)^N \phi(z)} = \frac{1}{(z-z_0)^N} C_{-N} + \frac{1}{(z-z_0)^{N-1}} C_{-N+1} + \dots</math>
che non è altro che lo sviluppo in serie di Laurent di <math>f(z)</math> che contiene un numero finito di potenze di ordine N. Mostriamo il viceversa: lo sviluppo di Laurent contiene un numero finito di potenze di ordine negativo N, per cui la funzione ha un polo dello stesso ordine. Dalla:
▲:<math>f(z) = \frac{
dove <math>\psi(z)</math> è analitica e non nulla in un intorno di <math>z_0</math>, allora:
:<math>g(z) = (z - z_0)^N \frac{1}{\psi(z)}</math>
è analitica in un intorno di <math>z_0</math> con uno zero di ordine N in <math>z_0</math>, quindi <math>f(z)</math> ha un polo di ordine N in <math>z_0</math>.
=== Punto all'nfinito ===
E' utile aggiungere anche il punto all'infinito <math>z = \infty</math>, esso sarà un polo, una singolarità eliminabile o essenziale a seconda che <math>f(z)</math> ammetta limite finito, infinito o non esista. Per caratterizzare la serie di Laurent per il punto all'infinito dobbiamo sfruttare il teorema di inversione cioè
:<math>\xi = \frac{1}{z}</math>
:<math>f(z) = f(1/\xi) = \phi(\xi)</math>
Quindi <math>\xi = 0</math> sarà per <math>\phi(\xi)</math> una singolarità eliminabile, un polo o una singolarità essenziale se e solo se <math>z = \infty</math> è una singolarità eliminabile, un polo o una singolarità essenziale per <math>f(z)</math>.
In corrispondenza <math>\phi(\xi)</math> avrà uno sviluppo in serie di Laurent in sole potenze positive (<math>\xi = 0</math> è regolare), oppure uno sviluppo in potenze positive e negative finite (<math>\xi = 0</math> è un polo dello stesso ordine dlle potenze negative), o infine uno sviluppo in potenze positive e negative infinte (<math>\xi = 0</math> è una singolarità essenziale). E' chiaro che invertendo <math>\phi</math> abbiamo che <math>f(z)</math> contiene solo potenze negative allora <math>z = \infty</math> è un punto regolare, se contiene potenze negative e un numero finito di potenze positive allora <math>z = \infty</math> è un polo dell'ordine massimo di queste potenze positive, infine se contiene sia potenze negative e positive di ordine infinito allora <math>z = \infty</math> è una singolarità essenziale per <math>f(z)</math>.
==Bibliografia==
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