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Riga 4: In realtà fu [[Karl Weierstrass]] a scoprirla per primo nel [[1841]] ma non pubblicò i suoi risultati. La serie di Laurent per una funzione complessa f(z) in un punto <math>cz_0</math> è data da: :<math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-cz_0)^n</math> Dove ''a<sub>n</sub>'' sono termini costanti, definiti da un [[integrale di linea]] che è una generalizzazione della [[formula integrale di Cauchy]]: :<math>a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-cz_0)^{n+1}}.\,</math> Il percorso di integrazione γ è preso in verso antiorario intorno ad una [[curva (matematica)\|curva]] chiusa semplice (non si interseca con sé stessa), che circonda <math>cz_0</math> e che giace all'interno di una [[corona circolare]] ''A'' in cui ''f''(''z'') è [[funzione olomorfa\|olomorfa]]. Lo sviluppo di ''f''(''z'') è valido ovunque all'interno della corona. La corona è evidenziata in rosso nella figura a destra, insieme ad un esempio di possibile percorso di integrazione, qui chiamato γ. In pratica, questa formula è utilizzata molto raramente perché gli integrali presenti sono, in generale, difficili da valutare; tipicamente si costruisce la serie di Laurent a partire da combinazioni di sviluppi di Taylor già noti. ~~I numeri ''a<sub>n</sub>'' e ''c'' vengono in genere considerati [[numero complesso\|complessi]], sebbene esistano altre possibilità, come riportato di seguito.~~ La parte negativa della serie di Laurent viene detta '''parte principale''' della serie, mentre quella positiva, '''parte regolare'''. Line 193 ⟶ 191: === Serie di Laurent e poli === Di ~~particlare~~particolare importanza è il caso in cui la serie contiene un numero finito di potenze di ordine negative, cioè la funzione ha un polo dello stesso ordine in <math>z_0</math>. <div style="float:center; width:88%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left"> '''Teorema''' Una funzione <math>f(z)</math> che abbia un polo di ordine <math>N</math> in <math>z_0</math> è rappresentata da una serie di Laurent a partire da potenze negative dello stesso ordine N e viceversa. </div> Infatti consideriamo che un polo di ordine N per la <math>f(z)</math> è uno [[Zero (Analisi complessa)\|zero]] di ordine N per la funzione <math>g(z) = 1 / f(z)</math>. Quindi <math>g(z)</math> che ha uno zero di ordine N in <math>z_0</math> è rappresentabile nella forma: Riga 221: è analitica in un intorno di <math>z_0</math> con uno zero di ordine N in <math>z_0</math>, quindi <math>f(z)</math> ha un polo di ordine N in <math>z_0</math>. === Punto all'~~nfinito~~infinito === E' utile aggiungere anche il punto all'infinito <math>z = \infty</math>, esso sarà un polo, una singolarità eliminabile o essenziale a seconda che <math>f(z)</math> ammetta limite finito, infinito o non esista. Per caratterizzare la serie di Laurent per il punto all'infinito dobbiamo sfruttare il teorema di inversione cioè

Serie di Laurent: differenze tra le versioni