Osservatore dello stato: differenze tra le versioni

\vec{y_s}{{U|Osservatore di stato|controlli automatici}}

:<math>\frac{d\vec{x}(t)}{dt}=\,A\vectorvec{x}(t) + B\vectorvec{u}(t)\,</math>

:<math>\vectorvec{y}(t)= C\vectorvec{x}(t) + D\vectorvec{u}(t)\,\!</math>

Il [[vettore]] [[colonna]] <math>\vectorvec{x}(t)\,\!</math> è ciò che vogliamo osservare, per quanto detto in precedenza abbiamo a disposizione gli ingressi forniti al sistema <math>\vectorvec{u}(t)\,\!</math> e le sue uscite <math>\vectorvec{y}(t)\,\!</math>.

Per costruire un osservatore di stato è necessario costruire un sistema dinamico che con le informazioni <math>\vectorvec{u}(t)\,\!</math> e <math>\vectorvec{y}(t)\,\!</math> riesca a stimare lo stato garantendone la convergenza:

:<math>\lim_{t \to +\infty} |\vectorvec{x}(t) - \vectorvec{w}(t)| = \vectorvec{0} </math>, dove <math>\vectorvec{w}(t)\,\!</math> è lo stato stimato.

:<math>\frac{d\vectorvec{w}(t)}{dt}=\,F\vectorvec{w}(t) + L\vectorvec{u}(t) + G\vectorvec{y}(t)\,</math>

dove <math>\vectorvec{w}(t)\,\!</math> è lo stato stimato.

Assumendo la dipendenza istantanea dell'uscita dall'ingresso nulla (<math>D=0\,\!</math>) l'uscita stimata dal sistema può essere espressa come <math>\vectorvec{y_s}(t) = C\vectorvec{w}(t)\,\!</math>. Dunque assumendo <math>F = A - GC \,\!</math> e <math>L = B \,\!</math> l'espressione dell'osservatore di stato diventa:

:<math>\frac{d\vectorvec{w}(t)}{dt}=\,A\vectorvec{w}(t) + B\vectorvec{u}(t) + G(\vectorvec{y}(t) - \vectorvec{y_s}(t))\,</math>.

Questa nuova formulazione rende evidente la modalità con cui funziona l'osservatore di stato. Infatti lo stato osservato <math>\vectorvec{w}(t)\,\!</math> è ottenuto utilizzando il modello matematico noto a cui viene aggiunto un termine di correzione, questo termine è pesato dalla matrice <math>G\,\!</math> e modifica la stima dello stato in basa alla "distanza" tra l'uscita misurata e quella stimata.