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Sempre caro mi fu quest'ermo colle,
[[Immagine:Hairy ball.png|thumb|right|200px|Una visualizzazione grafica del teorema della palla pelosa: non è possibile pettinare la palla senza lasciare punti singolari.]]
e questa siepe, che da tanta parte
[[Immagine:Hairy doughnut.png|thumb|right|200px|Una superficie toroidale è invece facilmente pettinabile.]]
dell'ultimo orizzonte il guardo esclude.
Ma sedendo e mirando, interminati
In [[topologia algebrica]], il '''teorema della palla pelosa''' stabilisce che non esiste un [[campo vettoriale]] continuo non nullo tangente ad una [[sfera]]. Questa proprietà viene spesso espressa come "non è possibile pettinare completamente una palla pelosa" o "non è possibile pettinare i capelli di una palla da biliardo"; i capelli pettinati rappresentano il campo vettoriale continuo. Infatti, come conseguenza del teorema, è impossibile eseguire una pettinatura che non abbia almeno una chierica, o una riga.
spazi di là da quella, e sovrumani
silenzi, e profondissima quïete
Un'enunciazione più formale è la seguente: data una sfera <math>S</math> e una funzione continua <math>f: S \rightarrow \mathbb{R}^3</math> che associa ad ogni punto <math>P</math> della sfera un [[vettore (matematica)|vettore]] tridimensionale tangente alla sfera stessa in <math>P</math>, esiste almeno un punto della sfera <math>Q \in S</math> tale che <math>f(Q) = 0</math>.
io nel pensier mi fingo, ove per poco
il cor non si spaura. E come il vento
Il teorema, dimostrato nel [[1912]] da [[Luitzen Brouwer]], può essere visto come un caso particolare del [[Teorema di Poincaré-Hopf]], che asserisce che la somma degli zeri di determinati campi vettoriali su una superficie è pari alla [[caratteristica di Eulero]] di tale superficie: poiché la caratteristica di Eulero della sfera è 2, il campo deve possedere almeno uno zero; una superficie a caratteristica zero, come il [[toro (geometria)|toro]], è invece "pettinabile". In questo contesto più ampio il teorema della palla pelosa costituisce un esempio di legame tra le proprietà [[topologia|topologiche]] di una superficie (la caratteristica di Eulero) e quelle [[analisi matematica|analitiche]] (i campi vettoriali su di essa). Esistono tuttavia numerose altre dimostrazioni, ad esempio a partire dal [[lemma di Sperner]]<ref>{{Cita|Tyler Jarvis||1}}</ref><ref>{{Cita|John Milnor||2}} presenta una dimostrazione basata unicamente su considerazioni analitiche; vedi anche [http://topologicalmusings.wordpress.com/2008/07/22/analyzing-the-hairy-ball-theorem/] per una presentazione e una discussione della dimostrazione.</ref>.
odo stormir tra queste piante, io quello
infinito silenzio a questa voce
==Applicazioni==
vo comparando: e mi sovvien l'eterno,
e le morte stagioni, e la presente
Il teorema della palla pelosa ha applicazioni non solo in ambito matematico, ma anche in alcuni campi della [[fisica]] e della [[tecnologia]].
e viva, e il suon di lei. Così tra questa
immensità s'annega il pensier mio:
===Punti fissi e antipodali===
e il naufragar m'è dolce in questo mare.
Una conseguenza del teorema della palla pelosa è che qualunque [[funzione continua]] che mappa la sfera in sé stessa ha necessariamente un punto che viene mappato su sé stesso ([[punto fisso]]) o sul proprio [[punti antipodali (matematica)|punto antipodale]]:
: <math>\forall f: S \rightarrow S \quad \mathrm{continua} ,\, \exists P \in S :\, f(P) = \pm P</math>.
La dimostrazione di questa proprietà si ottiene associando alla funzione continua una funzione vettoriale tangente nel seguente modo: preso un punto <math>P</math> sulla sfera, si costruisce la [[proiezione stereografica]] di <math>f(P)</math> usando <math>P</math> come polo della proiezione, e si prende come vettore tangente <math>\mathbf{v}(P)</math> il vettore posizione della proiezione rispetto a <math>P</math>.
I vettori tangenti così costruiti definiscono una funzione continua che rispetta le ipotesi del teorema: quindi esiste un punto <math>P</math> della sfera tale che <math>\mathbf{v}(P) = 0</math>; questo implica che <math>f(P)</math> coincide con <math>P</math>, oppure si trova al suo antipodo.
===Meteorologia===
La [[circolazione atmosferica]] di un pianeta può essere rappresentata con un modello che assegna a ogni punto della superficie un vettore tangente alla superficie stessa e avente la direzione del [[vento]]; questa approssimazione equivale a trascurare la componente verticale del vento, il che è accettabile se il diametro del pianeta è molto maggiore dello spessore dell'[[atmosfera]].
Tranne il caso banale in cui il vento è fermo su tutto il pianeta, il campo vettoriale così definito rispetta le ipotesi del teorema della palla pelosa; segue che esiste almeno un punto della superficie in cui il vento ha velocità nulla: questi punti corrispondono all'occhio di un [[ciclone]] o di un [[anticiclone]]. Il teorema garantisce quindi che sulla superficie di un pianeta dotato di atmosfera esiste sempre almeno un ciclone.
===Computer grafica===
Un problema comune in [[computer grafica]] è la generazione di un vettore non nullo [[perpendicolarità|ortogonale]] ad un altro vettore dato. Se consideriamo il vettore di partenza come posizionato sul raggio di una sfera, i vettori ortogonali sono tangenti alla sfera stessa; dal teorema della palla pelosa segue che non esiste una funzione continua in grado di risolvere il problema per qualunque vettore di partenza, ovvero per tutti i punti della sfera.
==Estensioni del teorema==
Il teorema può essere esteso a sfere in [[dimensione|dimensioni]] superiori: si può dimostrare che esso è valido per tutte le <math>2n</math>-sfere, in dimensione pari. Questa proprietà è facilmente derivabile tramite la caratteristica di Eulero: quest'ultima infatti si può ottenere come somma alternata dei [[numero di Betti|numeri di Betti]] della <math>m</math>-sfera, che valgono 0 tranne che per le dimensioni <math>0</math> ed <math>m</math>, per cui la caratteristica di Eulero vale 2 se <math>m</math> è pari, perché i due termini non nulli hanno lo stesso segno, 0 se <math>m</math> è dispari.
==Note==
<references/>
==Bibliografia==
* {{Cita web|url=http://www.bbc.co.uk/dna/h2g2/A9632964|titolo=The Hairy Ball Theorem|accesso=06-09-2008|lingua=en|editore=BBC|data=22-03-2006}}
* {{Cita pubblicazione|cognome=Jarvis|nome=Tyler|coautore=James Tanton|anno=2004|titolo=The Hairy Ball Theorem via Sperner's Lemma|rivista=American Mathematical Monthly|numero=111|pagine=599-603|url=http://www.math.byu.edu/~jarvis/sperner.pdf|accesso=06-09-2008|cid=1}}
* {{Cita pubblicazione|cognome=Milnor|nome=John|linkautore=John Milnor|anno=1978|titolo=Analytic proofs of the “hairy ball theorem” and the Brouwer fixed point theorem|rivista=American Mathematical Monthly|numero=85|pagine=521-524|cid=2}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Topologia]]
[[Categoria:Teoremi|Palla pelosa]]
[[da:Sætningen om den behårede kugle]]
[[de:Satz vom Igel]]
[[en:Hairy ball theorem]]
[[eo:Teoremo pri erinaco]]
[[fr:Théorème de la boule chevelue]]
[[ru:Теорема о причёсывании ежа]]
[[zh:毛球定理]]
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