Decadimento esponenziale: differenze tra le versioni
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L'equazione che descrive il decadimento esponenziale si può scrivere
:<math>\frac{dN(t)}{N(t)} = -\lambda dt
integrando si ottiene
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dove la sostituzione finale <math>N_0 = e^C</math> è ottenuta valutando l'equazione al tempo <math>t=0</math>.
Inoltre λ è l'[[autovalore]] dell'[[operatore differenziale]] con <math>N(t)</math> la relativa [[autofunzione]]. Il decadimento si misura in s<sup>-1</sup>.
=== Vita media===
Dato un insieme di elementi, il cui numero descresce col tempo fino a diventare nullo, la vita media <math>\tau</math> è il [[valore atteso]] del tempo che un elemento resta nell'insieme prima di esserne rimosso.
Data la quantità di elementi
:<math>N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \,</math>
si ha:
:<math>1 = \int_{0}^{\infty}c \cdot N_0 e^{-\lambda t}\, dt = c \cdot \frac{N_0}{\lambda}</math>
con ''c'' costante di normalizzazione:
:<math>c = \frac{\lambda}{N_0}</math>
Si nota che il decadimento esponenziale è un multiplo della [[Variabile casuale esponenziale negativa|distribuzione esponenziale]], che ha un valore atteso ben noto. Usando l'[[integrazione per parti]]:
:<math>\tau = \langle t \rangle = \int_{0}^{\infty} t \cdot c \cdot N_0 e^{-\lambda t}\, dt = \int_{0}^{\infty} \lambda t e^{-\lambda t}\, dt = \frac{1}{\lambda}</math>
=== Decay by two or more processes ===<!-- This section is linked from [[Half-life]] -->
A quantity may decay via two or more different processes simultaneously. In general, these processes (often called "decay modes", "decay channels", "decay routes" etc.) have different probabilities of occurring, and thus occur at different rates with different half-lives, in parallel. The total decay rate of the quantity ''N'' is given by the ''sum'' of the decay routes; thus, in the case of two processes:
:<math>-\frac{dN(t)}{dt} = N\lambda _1 + N\lambda _2 = (\lambda _1 + \lambda _2)N.\,</math>
The solution to this equation is given in the previous section, where the sum of <math>\lambda _1 + \lambda _2\,</math> is treated as a new total decay constant <math>\lambda _c\,</math>.
:<math>N(t) = N_0 e^{-(\lambda _1 + \lambda _2) t} = N_0 e^{-(\lambda _c) t}.\,</math>
Since <math>\tau = 1/\lambda\,</math>, a combined <math>\tau_c\,</math> can be given in terms of <math>\lambda\,</math>s:
:<math>\frac{1}{\tau_c} = \lambda_c = \lambda_1 + \lambda_2 = \frac{1}{\tau_1} + \frac{1}{\tau_2}\,</math>
:<math>\tau_c = \frac{\tau_1 \tau_2}{\tau_1 + \tau_2}.\, </math>
In words: the mean life for combined decay channels is the [[harmonic mean]] of the mean lives associated with the individual processes divided by the total number of processes.
Since half-lives differ from mean life <math>\tau\,</math> by a constant factor, the same equation holds in terms of the two corresponding half-lives:
:<math>T_{1/2} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2} \,</math>
where <math>T _{1/2}</math> is the combined or total half-life for the process, <math>t_1</math> is the half-life of the first process, and <math>t_2</math> is the half life of the second process.
In terms of separate decay constants, the total half-life <math>T _{1/2}</math> can be shown to be
:<math>T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda _c} = \frac{\ln 2}{\lambda _1 + \lambda _2}.\,</math>
For a decay by three simultaneous exponential processes the total half-life can be computed, as above, as the harmonic mean of separate mean lives:
:<math>T_{1/2} = \frac{t_1 t_2 t_3}{(t_1 t_2) + (t_1 t_3) + (t_2 t_3)} = \frac{\ln 2}{\lambda _c} = \frac{\ln 2}{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3}.\,</math>
===Tempo di dimezzamento===
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