Prodotto diretto: differenze tra le versioni
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In [[algebra]], il '''prodotto diretto''' di due [[gruppo (matematica)|gruppi]] è un altro gruppo, costruito prendendo il [[prodotto cartesiano]] di questi e definendo l'operazione termine a termine.
La costruzione si estende facilmente in alcuni casi in cui il gruppo ha anche delle strutture aggiuntive: è possibile quindi effettuare il prodotto diretto di [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] e [[anello (matematica)|anelli]].
== Definizione ==▼
== Prodotto di due gruppi ==
▲=== Definizione ===
Il '''prodotto diretto''' di due [[gruppo (matematica)|gruppi]] (''G<sub>1</sub>'', *<sub>1</sub>), (''G<sub>2</sub>'', *<sub>2</sub>) è il gruppo (''G''<sub>1</sub>× ''G''<sub>2</sub>, *<sub>×</sub>) che si ottiene munendo il [[prodotto cartesiano]] ''G''<sub>1</sub>×''G''<sub>2</sub> dell'operazione *<sub>×</sub> definita da
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::(''a''<sub>1</sub><sup>-1</sup>, ''a''<sub>2</sub><sup>-1</sup>)(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>) = (''a''<sub>1</sub><sup>-1</sup>a<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub><sup>-1</sup>''a''<sub>2</sub>) = (''e''<sub>1</sub>, ''e''<sub>2</sub>).
=== Proprietà ===
* I due gruppi fattori ''G''<sub>1</sub> e ''G''<sub>2</sub> possono essere identificati canonicamente con due [[sottogruppo normale|sottogruppi normali]]
::<math> H_2 = \{(a_1, e_2)\ |\ a_1 \in G_1\} </math>
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Un'estensione del concetto di prodotto diretto è il [[prodotto semidiretto]] tra gruppi.
=== Esempi ===
* Il prodotto diretto di ''n'' copie dello stesso gruppo ''G'' viene indicato con ''G<sup>n</sup>''. Ad esempio, otteniamo i gruppi '''Z'''<sup>''n''</sup> e '''R'''<sup>''n''</sup> a partire dai gruppi '''Z''' e '''R''' rispettivamente dei [[numeri interi]] e [[numeri reali|reali]].
== Strutture aggiuntive ==
=== Anelli ===
Se ''A'' e ''B'' sono due [[anello (matematica)|anelli]], il loro prodotto diretto ''A'' × ''B'' ha una naturale struttura di anello, ottenuta definendo sia la somma che il prodotto termine a termine come sopra.
=== Spazi vettoriali ===
Il prodotto diretto ''V'' × ''W'' di due [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] ha una naturale struttura di spazio vettoriale, ottenuta definendo somma e prodotto per scalare termine a termine. Quindi:
:<math> \lambda (v,w) = (\lambda v, \lambda w) </math>
Se due sottospazi ''U'' e ''W'' di uno spazio vettoriale ''V'' sono in [[somma diretta]], allora il sottospazio ''U'' + ''W'' che generano è [[isomorfismo|isomorfo]] al loro prodotto diretto ''U'' × ''W''.
L'esempio più importante di prodotto diretto di spazi vettoriali è '''K'''<sup>''n''</sup>, definito come il prodotto diretto di ''n'' copie del campo '''K'''.
=== Campi? ===
Il prodotto diretto di due campi è certamente un anello, ma non è mai un campo (a meno che uno dei due campi non sia banale). Infatti l'elemento (''a'', 0) non ha mai un inverso se ''a'' è diverso da zero!
==Voci correlate==
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