:''Questo articolo è inerente al teorema di Bézout (geometria algebrica); per il teorema in aritmetica, si veda [[:en:Bézout's identity|Bézout's identity]].''
In [[matematica]], il '''Teorema di Bézout''' permette di conoscere il numero di intersezione fra due curve. Dà unIl numero che si ottiene è soggetto aad 'interpretazione'; ma in ogni caso indica il ''massimo'' numero di intersezioni che due [[curve algebriche]] possono avere, withoutse havingnon aammettono commoncomponenti component curvecomuni.
In [[geometria algebrica]], l'enunciato del '''Teorema di Bézout''' si applica ai punti di intersezione di curve piane ''X'' di grado ''m'' e ''Y'' di grado ''n''.It(si assertsintende thatper the''grado'' numberdi ofuna intersections, counted bycurva ''C'' il grado del [[intersectionpolinomio]] che la descrive). Esso dice che il numero number|intersectiondelle multiplicity]]''intersezioni, contate con la loro molteplicità, isè preciselyprecisamente ''mn'', excepteccetto nel caso in casecui ''X'' ande ''Y'' havehanno auna commoncomponente componentcomune. ThereforeDi conseguenza ''mn'' isè theil maximummassimo finitenumero numberfinito ofdi intersectionpunti pointsd'intersezione. Here ''degree'' of a curve ''C'' means the degree of the [[polynomial]] defining it.
TheNel specialcaso caseparticolare wherein onecui ofuna thedelle curvescurve isè auna lineretta isil ateorema versiondi ofBézout theè una versione del [[fundamentalteorema theorem offondamentale dell'algebra]]. ForPer exampleesempio, thela parabola defined by definità da ''y - x''<sup>2</sup> = 0 di has degreegrado 2; thelinee la retta ''y'' - 2''x'' = 0 di has degreegrado 1,andsi theyincontrano meetesattamente in exactly twodue pointspunti.
FromNel thecaso casedi ofdue linesrette, withcioè con ''m'' ande ''n'' bothentrambi uguali a 1, itè ischiaro clearche thatstiamo onelavorando must work in thenel [[projectivepiano planeproiettivo]]; tosi allowtenga forconto higherche degreeper casescasi onedi isgrado forcedsuperiore tosi setè thecostretti theoremad operare in '''P'''<sup>2</sup><sub>''K''</sub> overcioè ansu un [[algebraicallycampo closedalgebricamente fieldchiuso]] ''K''.
== ExamplesEsempi ==
Two distinct lines always meet in exactly one point. If they are parallel, that point lies at infinity. To see how this works algebraically, in projective space, the lines ''x''+2''y''=3 and ''x''+2''y''=5 are represented by the homogeneous equations ''x''+2''y''-3''z''=0 and ''x''+2''y''-5''z''=0. Solving, we get ''x''= -2''y'' and ''z''=0, corresponding to the point (-2:1:0) in homogeneous coordinates. As the ''z''-coordinate is 0, this point lies on the line at infinity.
