Similitudine tra matrici: differenze tra le versioni

Due matrici simili hanno lo stesso [[rango (algebra lineare)|rango]], [[determinante]] e [[traccia (matrice)|traccia]]. DiciamoSi dice quindi che rango, determinante e traccia sono ''invarianti'' per similitudine.

La dimostrazione dell'invarianza del determinante passa per il [[teorema di Binet]]:

Due matrici simili hanno inoltre lo stesso [[polinomio caratteristico]] e lo stesso [[polinomio minimo]]. Quindi hanno anche gli stessi [[autovalore|autovalori]]. Quest'ultimo fatto può essere verificato direttamente nel modo seguente: se <math>\lambda </math> è un autovalore, allora vale la relazione

per qualche vettore <math>x</math> diverso da zero. Sostituendo <math> A </math> con <math>MBMM^{-1}BM</math> e moltiplicando entrambi i membri a sinistra per <math>M^{-1}</math> abbiamosi trova

:<math> MBMM^{-1}xBMx = \lambda x \Rightarrow B(M^{-1}xMx) = \lambda (M^{-1}xMx)\,\!</math>

per cui <math>\lambda</math> è anche autovalore di <math> B </math> con autovettore <math>M^{-1} x</math>.