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La '''Teoria dei numeri analitica''' è una branca della [[teoria dei numeri]] che usa metodi dell'[[analisi matematica]]. Il suo primo grande successo, dovuto a [[Dirichlet]], fu l'applicazione dell'analisi nelper dimostrare [[Teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche|l'esistenza di infiniti numeri primi in una qualsiasi progresiioneprogressione aritmetica]]. LeLa dimostrazionidimostrazione del [[teorema dei numeri primi]] basato sulla [[Funzione zeta di Riemann]] è un'altra pietra miliare.
L'organizzazione concettuale dell'argomentodella materia rimane simile a quello dei tempi d'oro degli anni 30. La [[teoria dei numeri moltiplicativa]] tratta della distribuzione dei [[numero primo|numeri primi]], applicando le [[serie di Dirichlet]] come funzioni generatrici. Si presume che i metodi verranno un giorno applicati alla generale [[L-function]], sebbene tale teoria sia in gran parte fatta di congetture. LaAlla [[teoria dei numeri additiva]] haappartengono comealcuni tipicheproblemi questionitipici come la [[congettura di Goldbach]] eed [[il [[problema di Waring]].
I metodi sono in qualche modo cambiati. Il ''metodo del cerchio'' di [[G. H. Hardy|Hardy]] e [[John Edensor Littlewood|Littlewood]] era concepito in modo da applicarsi alle [[serie di potenze]] vicino al [[cerchio unitario]] nel [[piano complesso]]; ora viene pensato invece in termini di somme esponenziali finite (cioè, sul cerchio unitario, ma con le serie di potenze troncate). Il metodo delle [[approssimazioni diofantee]] e' necessario per [[funzioni ausiliarie]] che non siano [[funzioni generatrici]] - i coefficienti sono costruiti mediante l'uso del [[principio dei cassetti]] - e coinvolge piu' variabili complesse.
Lo studio delle approssimazioni diofantee e della teoria dela trascendenza si sono evoluti a tal punto che tali tecniche sono state applicate alla [[congettura di Mordell]].
Il piu'più grande singolo cambiamento dopo il 1950 e'è stato lo sviluppo del ''metodo didel sievecrivello'' come stumentostrumento ausiliario, in particolare in problemi moltiplicativi. Questi probelmi sono di natura combinatorica e molto varia. Molto citati sono anche gli utilizzi della [[teoria dei numeri probabilistica]] - asserti circa la forma della distribuzione casuale dei primi, per esempio. Un estremo di questa branca della combinatorica e'è stato di conseguenza molto influenzato dal valore attribuito in teoria dei numeri analitica a gli (spesso separati) estremi superiori e inferiori quantitativi.
<!--The needs of [[diophantine approximation]] are for auxiliary functions that aren't [[generating function]]s - their coefficients are constructed by use of a [[pigeonhole principle]] - and involve [[several complex variables]].
The fields of diophantine approximation and [[transcendenza (mathematica)|teoria della transcendenza]] have expanded, to the point that the techniques have been applied to the [[Mordell conjecture]].
The biggest single technical change after 1950 has been the development of ''[[sieve method]]s'' as an auxiliary tool, particularly in multiplicative problems. These are [[combinatorics|combinatorial]] in nature, and quite varied. Also much cited are uses of ''[[probabilistic number theory]]''- forms of random distribution assertions on the primes, for example: these have not received any definitive shape. The extremal branch of combinatorial theory has in return been much influenced by the value placed in analytic number theory on (often separate) quantitative upper and lower bounds.-->
[[Categoria:Teoria dei numeri]]
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