Teorema di Sylvester-Gallai: differenze tra le versioni

IL '''Teorema di Sylvester–Gallai''' asserisce che dato un numero [[finito]] superiore a 2 di punti in un [[piano]], allora

# Tuttiaut tutti i punti sono allineati; oppure

# Esisteaut esiste una [[retta]] che contiene esattamente due dei punti.

Questo teoremaenunciato fu posto come problemacongettura da [[James Joseph Sylvester]] nel 1893 e risoltodimostrato da [[Tibor Gallai]] nel 1944. Una variante qualitativa del teorema è il [[Teoremateorema di Beck]]. Il teorema di Sylvester-Gallai non è vero conper un insieme di [[infiniti]] punti,: bastaun considerarecontroesempio perpiuttosto esempioevidente lè fornito dall'insieme dei<math>{\Bbb puntiZ} costituito\times da{\Bbb Z}</math>; un controesempio più ridotto da <math>{\Bbb ZN} \times {\Bbb ZN}</math>.

Supponiamo di avere un insieme ''S'' contenente un numero finito di almeno 3 punti non allineati (devono essere almeno tre). DefinamoDefiniamo ''retta di connessione'' per ''S'' una retta del piano che contiene almeno due punti della collezione; si alloratratta dobbiamodi mostrareindividuare cheuna retta di connessione che contiene ''esattamente'' due punti.

Sia ''l'' una retta di connessione,; poiché i punti di ''S'' non sono allinatiallineati, esistein ''S'' si trova almeno un punto ''P'' che non appartiene a ''l''. Se ''l'' contiene esattamente due punti siamo a posto. Altrimenti, sappiamo che ''l'' contiene almeno tre punti, che chiamiamo ad esempio ''A'', ''B'' e ''C ''. Possiamo presupporre senza perdita di generalità che ''B'' si trova fra ''A'' e ''C ''. Poichè gli [[angolo|angoli]] <math>\angle ABP</math> e <math>\angle CBP</math> sommati valgono 180 [[Grado_(unità_di_misura)|gradi]], non possono essere entrambi ottusi; possiamo supporre <math>\angle ABP</math> non ottuso (cioè acuto).

Ricapitolando, abbiamo preso una retta di connessione ''l'' ed un punto ''P'' nonin appartenete''S'' alla- retta.''l'' e abbiamo trovato che Alloraaut ''l'' contiene esattamente due punti oppureaut esisteesistono un'altra retta di connessione ''m'' ed un punto ''B'' nonin appartenete''S'' alla- retta''m'' tali che la distanza fra ''B'' e ''m'' è minore della distanza fra ''P'' ed ''l''. Nel secondo caso, ripetiamo il procedimento sostituendo a ''P'' ed ''l'' con ''B'' eed ''m''. Non possiamo continuare indefinitamente il procedimento perché otterremmo una successione di distanze decrescienti ma il numero di distanze positive possibili fra i punti e le rette di connessione è limitatofinito, perchédato l'insiemeche originaleS è stato presupposto per essere limitatofinito. Si ottiene così una retta di connessione contenente esattamente due punti soltanto. [[QDD]]

[[Categoria: Geometria discretaeuclidea]]

[[Categoria: Geometria euclideaTeoremi]]