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In [[teoria dei numeri analitica]], con '''funzioni L''' si denotano alcuni particolari tipi di [[funzione speciale|funzionzioni speciali]] definite sui [[numero complesso|numeri complessi]] che generalizzano la [[funzione zeta di Riemann]], codificando informazioni [[aritmetica|aritmetiche]] e [[geometria|geometriche]]. Oltre alla stessa funzione zeta di Riemann, altre importanti classi di funzioni L sono le [[funzione L di Dirichlet|funzioni L di Dirichlet]] e le [[funzione L di Hecke|funzioni L di Hecke]].
{{C|Le funzioni L di Dirichlet sono un particolare tipo di funzioni-L, ma ce ne sono anche molte altre|matematica|maggio 2010}}
Le '''funzioni L''', o '''funzioni-L''', o '''funzioni L di Dirichlet''', sono funzioni di una variabile complessa, per la quale si usa la notazione ''s'', definite a partire da una [[serie matematica|serie]] in relazione ad intero
positivo ''q'' e ad un [[carattere di Dirichlet]] modulo ''q'' che denotiamo con <math>\chi</math>. Diciamo '''serie L''' nella variabile ''s'' associata a ''q'' e al carattere <math>\chi</math> la serie
==Serie-L==
:<math>L\left(s,\chi\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi\left(n\right)}{n^s}</math> . ▼Non vi è una definizione assiomatica univoca che indichi quali siano le funzione L, e solitamente si procede "dal basso" indicando che alcuni famiglie di funzioni sono funzioni L. In genere, una funzione L è definita a partire da una serie L, una [[serie di Dirichlet]]
▲:<math> L\left(s,\chi\right)=\sum_{n=1}^ {\infty }\frac { \chi\left(n\right)a_n}{n^s}</math> .
Assumiamo che la parte reale di ''s'' sia maggiore di 1 in modo da garantire la convergenza della serie e consideriamo la funzione analitica ottenuta per prolungamento analitico della funzione somma della serie; questa è una [[funzione meromorfa]] sull'intero [[piano complesso]] e si dice Funzione L associata a ''q'' e <math>\chi</math>.
definita sul semipiano complesso Re(''s'')>σ' per qualche [[numero reale]] σ'. Questa serie viene poi [[Prolungamento analitico|prolungata analiticamente]] a una [[funzione_meromorfa]] sul [[piano complesso]]. Ad esempio, prendendo ''a<small>n</small>''=χ(''n'') per un qualche [[carattere di Dirichlet]] χ si ottiene una funzione L, precisamente la funzione L di Dirichlet associata al carattere χ.
La teoria delle funzioni-L è diventata una parte molto importante della [[teoria dei numeri]], anche se è ancora lontana dall'aver trovato una formulazione soddisfacente e completa. Nel suo ambito, sono state costruite generalizzazioni della [[Funzione zeta di Riemann]], delle [[: en : Dirichlet L-function|L-serie]]<nowiki></nowiki> e del [[Carattere di Dirichlet]], e sono state studiate le loro proprietà generali, anche se tali proprietà non sono state ancora soddisfacentemente dimostrate.
Gli zeri non banali della funzione zeta di Riemann di variabile complessa si congettura abbiano tutti parte reale uguale a 1/2: questa è in realtà una proprietà posseduta da una classe di funzioni molto più estesa, detta delle funzioni-L.
==Voci correlate
== Funzioni L ==
*[[ : en : Generalized Riemann hypothesis|Ipotesi di Riemann generalizzata]] ▼Nello studio delle [[L-serie di Dirichlet|L-serie]], dobbiamo distinguere fra la loro rappresentazione infinita (per esempio le [[Serie di Dirichlet|
serie di Dirichlet]] per le funzioni zeta di Riemann) e le L-funzioni, che sono la loro continuazione analitica nel piano complesso. Una L-serie è definita come una serie di Dirichlet e, successivamente, attraverso un'espansione mediante un [[Formula prodotto di Eulero|prodotto di Eulero]] indicizzato con numeri primi. Solo attraverso delle stime si può provare che la L-serie converge in un semipiano destro del piano complesso. Ci si può chiedere se la funzione così definita ammetta una continuazione analitica su tutto il piano complesso (sia pure potendo presentare dei [[Polo (analisi complessa)|poli]]).
Questa possibile [[Funzione meromorfa|estensione meromorfa]] delle L-serie all'intero piano complesso è chiamata funzione-L. Nel caso classico, si possono ottenere informazioni studiando i valori e il comportamento della funzione-L in punti del piano complesso in cui la serie non converge.
Attraverso la cosiddetta [[: en : Selberg class|Classe di Selberg]], raggruppiamo in un insieme di assiomi le proprietà fondamentali delle funzioni-L, concentrando lo studio sulle proprietà dell'intera classe, piuttosto che su quello delle singole funzioni.
==Principali congetture==
Elenchiamo le principali caratteristiche di esempi di funzioni-L che si vorrebbero generalizzare:
* Localizzazione di zeri e poli
* Studio della localizzazione degli zeri delle funzioni-L rispetto alla retta Re(s)=costante;
* Valori interi di notevole interesse
Molti lavori hanno sviluppato ipotesi plausibili riguardanti la risoluzione di questi problemi, per esempio circa i possibili tipi di [[Equazione funzionale|equazioni funzionali]] in gioco. Dal momento che la funzione zeta di Riemann si connette ai [[numeri di Bernoulli]], attraverso i valori che essa assume in corrispondenza degli interi positivi pari e negativi dispari, si cerca di generalizzare questa importante proprietà a tutte le funzioni-L. Sono stati ottenuti risultati rilevanti per le cosiddette [[: en : p-adic number|funzioni-L p-adiche]], che descrivono alcuni [[: en : Galois cohomology|moduli di Galois]].
La distribuzione degli zeri di queste funzioni è rilevante a causa della sua connessione all'[[: en : Generalized Riemann hypothesis|ipotesi di Riemann generalizzata]] e alla distribuzione dei numeri primi.
La connessione delle funzioni-<nowiki></nowiki>L con la [[: en : random matrix|Teoria delle Matrici random]] e con la [[: en : Quantum chaos|Teoria del Caos quantistico]] è ancora oggetto di studio. La [[frattali|struttura frattale]] della distribuzione degli zeri è stata studiata usando la cosiddetta "Rescaled range analysis" [1]. La proprietà di autosimilarità frattale della distribuzione degli zeri di queste funzioni è di grande rilievo ed è contraddistinta da una [[frattali|dimensione frattale]] d=1.9. Una dimensione frattale così grande è stata trovata per molti zeri della funzione zeta di Riemann e anche per quelli di funzioni-L di altro tipo.
==L'esempio della congettura di Birch e Swinnerton-Dyer==
Un esempio assai significativo per la storia della ricerca nel campo delle funzioni-L (ed un problema ancora aperto) è la [[: en : Birch and Swinnerton-Dyer conjecture|
congettura di Bryan Birch e Peter Swinnerton-Dyer]], sviluppata nella prima parte degli anni '60. Tale congettura si applica ad una qualunque [[curva ellittica|curva ellittica<nowiki></nowiki>]] E, quando si tenta di calcolare la [[curva ellittica|caratteristica]] della curva nel campo dei numeri razionali (o in altri [[campo (matematica)|campi]]) globali: ad esempio, tale congettura è rilevante nel caso in cui si voglia determinare il numero dei [[insieme di generatori|generatori liberi del gruppo]] formato dai punti razionali della curva stessa.
==Sviluppi della teoria generale==
Questo studio precede di alcuni anni lo sviluppo del [[: en : Langlands program|programma di Langland]] ed è complementare ad esso: il lavoro di Langland si collega sia allo studio delle [[: en : Artin L-function|funzioni-L di Artin]] (che, come le [[: en : Hecke character|funzioni-L di Hecke]], erano state definite parecchi decenni prima) che alle funzioni-L connesse alle [[: en : automorphic representation|rappresentazioni automorfe]] generali.
Gradualmente, si è chiarito in quale senso la costruzione della [[: en : Hasse-Weil zeta function|funzione zeta di Hasse-Weil]] possa fornire funzioni-L valide dal punto di vista analitico.
==Argomenti collegati==
▲*[[: en : Generalized Riemann hypothesis|Ipotesi di Riemann generalizzata]]
*[[: en : Modularity theorem|Teoremi di modularità]]
*[[: en : Artin L-function|Congettura di Artin]]
==Bibliografia==
* Jürgen Neukirch (1999): '' Algebraic Number Theory'', Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, MR1697859, ISBN 978-3-540-65399-8
* O. Shanker (2006): ''Random matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions'', J. Phys. A: Math. Gen. 39: 13983–13997. doi:10.1088/0305-4470/39/45/008.
==Collegamenti esterni==
*{{en}}[http://www.lfunctions.org/ Progetto sulle funzioni L].
*{{en}}[http://www.physorg.com/news124636003.html Glimpses of a new (mathematical) world] - a breakthrough third degree transcendental L-function revealed, ''Physorg.com'', March 13, 2008
*{{en}}[http://www.sciencenews.org/view/generic/id/9542/title/Math_Trek__Creeping_Up_on_Riemann Creeping Up on Riemann], Science News, April 2, 2008
*{{en}}[http://www.physorg.com/news137248087.html Hunting the elusive L-function]
*{{MathWorld|LanglandsProgram|Programma Langland}}
[[Categoria:Teoria analitica dei numeri]]
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