Spazio di misura: differenze tra le versioni
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==Definizioni==
Uno spazio di misura è una terna <math>(X,\mathfrak{F},\mu)</math> dove <math>(X,\mathfrak{F})</math> è uno [[spazio misurabile]] (ovverosia <math>X</math> è un [[insieme]] non vuoto ed <math>\mathfrak{F}</math> è una [[Sigma-algebra|σ-algebra]] su <math>X</math>), e <math>\mu</math> è una misura su <math>(X,\mathfrak{F})</math>. Quando lo spazio misurabile <math>(X,\mathfrak{F})</math> è uno [[spazio boreliano]], talvolta lo spazio di misura <math>(X,\mathfrak{F},\mu)</math> è detto '''spazio di misura boreliano'''. Se <math>\mu(X)<\infty<math> lo spazio di misura si dice '''finito'''. Se <math>X</math> può scriversi come [[unione (insiemistica)|unione]] [[Insieme numerabile|numerabile]] di insiemi <math>X=\bigcup_{i \in \mathbb{N}} X_i</math> di misura finita, <math>\mu(X_i)<\infty</math>, allora lo spazio misurabile si dice '''σ-finito'''.
==Esempi==
* La terna <math>(\mathbb{R},\mathfrak{B},\mu)</math>, dove <math>\mathbb{R}</math> è la retta reale, <math>\mathfrak{B}</math> è la relativa [[Algebra di Borel|σ-algebra boreliana]], e <math>\mu</math> è la [[misura di Borel]] è uno spazio di misura boreliano.
* La terna <math>(\mathbb{R},\mathfrak{L},\lambda)</math>, dove <math>\mathfrak{L}</math> è la [[Sigma-algebra di Lebesgue|σ-algebra di Lebesgue]], e <math>\lambda</math> è la [[misura di Lebesgue]] è uno spazio di misura non boreliano.
* Uno '''[[spazio di probabilità]]''' <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math> è uno spazio di misura tale che <math>\mathbb{P}(E)\geq 0</math> per ogni <math> E \in \mathcal{F}</math> e <math>\mathbb{P}(\Omega)=1</math>. In questo contesto <math>\mathbb{P}</math> è detta '''misura di probabilità]].
==Completamento di uno spazio di misura==
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