Spazio di misura: differenze tra le versioni
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Uno spazio di misura di dice '''completo''' se ogni insieme contenuto in un [[insieme nullo]] è misurabile ed ha misura nulla. In generale, da un punto di vista pratico, è conveniente utilizzare spazi completi<ref>Uno dei vantaggi di lavorare con spazi completi è il seguente: gli insiemi di misura nulla, in un certo senso, contano poco. Molte interessanti proprietà matematiche relative a spazi di misura sono verificate ''[[quasi ovunque]]'' (ossia, a meno di un insieme di misura nulla). Se vogliamo dimostrare che una data proprietà è valida ''quasi ovunque'', in uno spazio completo sarà sufficiente dimostrare che essa è valida ''almeno'' per tutti i punti al di fuori di un qualunque insieme di misura nulla. Invece, per uno spazio non completo, dovremo dimostrare che l'insieme di punti per cui essa non è valida, è misurabile ed ha misura nulla (questa seconda asserzione è in genrale più difficile da mostrare).</ref>. Tuttavia, dato uno spazio di misura non completo, è sempre possibile estenderlo ad uno spazio completo nel seguente senso.
Sia <math>(X,\mathfrak{F},\mu)</math> uno spazio di misura. Esiste uno spazio di misura completo, detto '''completamento di <math>(X,\mathfrak{F},\mu)</math>)''', <math>(X,\mathfrak{F}^\prime,\mu^\prime)</math> sullo stesso insieme <math>X</math> con le seguenti proprietà:
#la σ-algebra <math>\mathfrak{F}^\prime</math> è più fine (cioè contiene) <math>\mathfrak{F}</math>.
#la misura <math>\mu^\prime</math> ristretta ad <math>\mathfrak{F}</math> coincide con <math>\mathfrak{F}</math>, ossia per [[Insieme misurabile|sottoinsieme misurabile]] di <math>X</math> <math>E \in \mathfrak{F}</math> accade <math>\mu(E)=\mu^\prime(E)</math>.
#se <math>(X,\mathfrak{G},\nu)</math> è un altro spazio con tale proprietà, allora <math>\mathfrak{G}</math> è più fine di <math>\mathfrak{F}^\prime</math> (o equivalentemente, <math>\mathfrak{F}^\prime</math> è la meno fine tra tutte le σ-algebre su cui sia possibile effettuare tale costruzione).
Evidentemente, se <math>(X,\mathfrak{F},\mu)</math> è completo, esso coincide col suo completamento. In generale è possibile costruire in maniera esplicita il completamento di uno spazio non completo. Ne illustriamo qui la procedura.
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Un caso notevole, è quello dello spazio misurabile di Lebesgue (il secondo esempio sopra), che è il completamento dello spazio di Borel (il primo esempio sopra).
==La categoria degli spazi di misura==
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