Isometria: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], una '''isometria''' (dal [[lingua greca|greco]] [[wikt:ἴσος|ἴσος]], ''isos'', che significa ''uguale'')
Le isometrie preservano, oltre alle distanze, altri concetti geometrici come [[angolo|angoli]], [[area|aree]] e [[lunghezza|lunghezze]]. ▼
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== Definizione ==
Una [[funzione
:<math> f:X\to Y\,\! </math>
è un''''isometria''' se per ogni coppia di punti <math> x_1, x_2 </math> in <math> X </math> vale l'uguaglianza
:<math> d_X(x_1,x_2) = d_Y(f(x_1),f(x_2)). \,\! </math>
Una tale funzione è necessariamente [[funzione iniettiva|iniettiva]], e quindi fornisce una [[corrispondenza biunivoca]] fra i due spazi. La funzione non è però necessariamente [[funzione suriettiva|suriettiva]]: alcuni autori includono la suriettività nella definizione di isometria; con questa definizione ogni isometria definisce una [[corrispondenza biunivoca]].
=== Gruppo di isometrie ===
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=== Isometrie nel piano euclideo ===
{{Vedi anche|
Nel caso particolare del piano euclideo, queste sono tutte le varie tipologie di isometrie:
* Le [[riflessione (geometria)|simmetrie assiali]]
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* Le [[antitraslazione|antitraslazioni]], (o glissosimmetrie, o glissoriflessioni, o simmetrie con scorrimento), ottenibili con una simmetria assiale composta ad una traslazione lungo una retta parallela all'asse della simmetria assiale
==
=== Spazi vettoriali ===
{{vedi anche|Prodotto scalare}}
Nel caso di uno [[spazio vettoriale]] munito di un [[prodotto scalare]], una isometria è spesso definita diversamente: in questo contesto un'isometria è un'[[applicazione lineare]] che preserva il prodotto scalare, cioè tale che
:<math>\langle f(x_1), f(x_2)\rangle = \langle x_1, x_2\rangle. </math>
Nel caso in cui il prodotto scalare sia [[prodotto scalare definito positivo|definito positivo]], lo spazio vettoriale è anche uno spazio metrico, e le due definizioni fondamentalmente coincidono; l'unica differenza consiste che nello spazio vettoriale l'isometria è supposta [[punto fisso|fissare]] l'origine: in particolare, non sono ammesse [[traslazione (geometria)|traslazioni]].
=== Varietà riemanniane ===
In [[geometria differenziale]] ogni [[varietà riemanniana]] è dotata di un [[tensore metrico]] che definisce distanze, angoli, volumi, lunghezze, etc. La nozione di isometria usata in questo contesto è quindi mutuata da quella usata in algebra lineare.
Un [[diffeomorfismo]]
:<math>f:M\to N\,\!</math>
fra due varietà riemanniane (o [[varietà pseudo-riemanniana|pseudo-riemanniane]]) induce in ogni punto <math>x</math> di <math>M</math> un [[differenziale (matematica)|differenziale]]
:<math>df_x:T_xM \to T_{f(x)}N\,\!</math>
che è un [[isomorfismo]] lineare fra gli [[spazio tangente|spazi tangenti]] in <math>x</math> e in <math>f(x)</math>. La funzione <math>f</math> è un'''isometria'' se per ogni coppia di vettori tangenti <math>v,w</math> in ogni punto <math>x</math> vale la relazione
:<math>g_M(v,w) =g_N(df_x(v), df_x(w).\,\!</math>
Qui <math>g_M</math> e <math>g_N</math> sono il tensore metrico in <math>M</math> e in <math>N</math>.
In altre parole, si richiede che <math>g_M</math> sia il [[pull-back]] del [[tensore]] <math>G_N</math> di rango (0,2):
:<math>g_M = f^{*} g_N\,\!</math>
Se <math>f</math> è un [[diffeomorfismo locale]] tale che <math>g_M = f^{*} g_N</math>, allora <math>f</math> è chiamata ''isometria locale''.
== Voci correlate ==
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