Dimensione di Krull: differenze tra le versioni
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fix e sottolineo che l'inclusione e' stretta |
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== Definizione e proprietà ==
La lunghezza di una [[catena (matematica)|catena]] di ideali primi è definita come il numero massimo di inclusioni strette: così la catena
:<math>P_0\
ha lunghezza ''n''. L<nowiki>'</nowiki>''altezza'' di un ideale primo ''P'' è l'[[estremo superiore]] della lunghezza delle catene di ideali primi discendenti da ''P''; la dimensione di Krull di ''A'' è l'estremo superiore delle altezze dei suoi ideali primi.
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In generale, non è possibile calcolare la dimensione dell'anello dei polinomi ''A''[''X''] a partire da quella di ''A'': senza ulteriori ipotesi il miglior risultato generale è
:<math>1+\dim(A)\leq\dim(A[X])\leq1+2\cdot\dim(A).</math><ref>{{cita|Kaplansky|pp.25-27|Kaplansky}}</ref>
Per una vasta gamma di anelli (tra cui gli [[anello noetheriano|anelli noetheriani]]<ref>{{cita|Kaplansky|p.108|Kaplansky}}</ref> e gli [[anello di valutazione|anelli di valutazione]]<ref>{{cita|Kaplansky|p.41|Kaplansky}}</ref>), tuttavia, la dimensione di ''A''[''X''] è esattamente 1+dim(''A''). Di conseguenza, grazie al [[teorema della base di Hilbert]], se ''A'' è noetheriano (ad esempio se ''A'' è un [[campo (matematica)|campo]]) allora <math>\dim(A[X_1,\ldots,X_n])=n+\dim(A)</math>.
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