In [[fisica]] ed in [[matematica]] il '''gruppo di Poincaré''' è il gruppo di [[isometria|isometrie]] dello [[spazio-tempo di Minkowski]]. ÈSi untratta [[gruppo di Lie]] nondel [[Gruppoprodotto topologico|compattosemidiretto]] adelle 10traslazioni dimensioni.e Ildelle [[gruppotrasformazioni abelianodi Lorentz]], di traslazionied è un ''sottogruppo normale'' mentre il [[gruppo di LorentzLie]] è un sottogruppo, uno ''stabilizzatore'' di un punto. Pertanto, l'intero gruppo di Poincaré è ilnon [[prodottoGruppo semidirettotopologico|compatto]] dellea traslazioni10 e delle [[trasformazioni di Lorentz]]dimensioni.<br>
Il [[gruppo abeliano]] di traslazioni è un ''sottogruppo normale'' mentre il [[gruppo di Lorentz]] è un sottogruppo, uno ''stabilizzatore'' di un punto.
Si può anche dire chedefinire il '''gruppo di Poincaré''' siacome un gruppo di estensione del gruppo di Lorentz determinato dalla sua rappresentazione vettoriale. Le sue rappresentazioni di energia positiva unitaria sono indicate dalla [[massa (fisica)|massa]] (numero non negativo) e dallo [[spin]] (intero o mezzo) e, nella [[meccanica quantistica]] sono associate a particelle.
Le sue rappresentazioni di energia positiva unitaria sono indicate dalla [[massa (fisica)|massa]] (numero non negativo) e dallo [[spin]] (intero o mezzo) e, nella [[meccanica quantistica]] sono associate a particelle.
In accordo con il '''programma di Erlangen''', la geometria dello spazio di Minkowski è definita dal gruppo di Poincaré: lo [[Spazio-tempo di Minkowski|spazio di Minkowski]] è considerato per il gruppo come uno spazio omogeneo.
==Definizione==
L'algebra di Lie del gruppo di Poincaré soddisfa le seguenti equazioni:
