Condizioni al contorno di Dirichlet: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
m r2.6.4) (Bot: Aggiungo: sv:Dirichletvillkor |
Nessun oggetto della modifica |
||
Riga 4:
==Equazioni differenziali ordinarie==
Nel caso delle equazioni differenziali ordinarie
:<math>y(
:<math>y(
dove <math> \alpha _1\,</math> e <math> \alpha _1\,</math> sono dei valori dati dal problema.
Riga 13:
Nel caso di una equazione differenziale in un dominio Ω⊂ℝⁿ, come ∇²''y'' + ''y'' = 0, in cui ∇²''y'' denota il [[Laplaciano]] di ''y'', la condizione prende la forma:
:<math>y(x) = f(x) \quad \forall x \in \partial\Omega</math>
dove ''f'' è una funzione nota definita in ∂Ω, che è il contorno del dominio Ω.
Le condizioni al contorno di Dirichlet sono le più semplici da capire, ma esistono molte altre combinazioni possibili, come le [[condizioni al contorno di Neumann]], che impongono dei valori per la [[derivata]] della soluzione, o le condizioni al contorno miste (di [[Condizioni al contorno di Robin|Robin]] e [[Condizioni al contorno di Cauchy|Cauchy]], che sono combinazioni delle due).
==Il problema dell'elettrostatica nel vuoto==
Il problema dell'elettrostatica nel vuoto è risolto dalle condizioni al contorno di Dirichlet nel caso non siano presenti cariche localizzate ed il campo elettrostatico sia generato da un sistema di [[conduttore elettrico|conduttori]] di geometria nota e potenziale noto. In questo caso vale l'equazione di Laplace:
:<math>\nabla^{2} V=0</math>
dove le condizioni al contorno sono che il potenziale sia nullo all'infinito e valga ''V''<sub>0i</sub> sulla superficie dei conduttori. Una volta ricavati i potenziali per ogni punto nello spazio risolvendo l'equazione di Laplace, si ricava il campo elettrostatico, ed è possibile determinare la densità di carica superficiali σ<sub>i</sub> sui conduttori mediante il [[teorema di Coulomb]].<ref name=pot>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 108|mencuccini}}</ref> Infine, si può trovare la carica netta totale su tutti i conduttori e i coefficienti di capacità su questi tramite il sistema:<ref name=cond>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 109|mencuccini}}</ref>
:<math>\begin{cases} Q_1 = c_{11} V_{01} + c_{12} V_{02} + \ldots + c_{1n} V_{0n} \\ Q_2 = c_{21} V_{01} + c_{22} V_{02} + \ldots + c_{2n} V_{0n} \\ \ldots \\ \ldots \\ Q_n = c_{n1} V_{01} + c_{n2} V_{02} + \ldots + c_{nn} V_{0n} \end{cases}</math>
che consente di ricavare i coefficienti.
==Note==
<references/>
== Bibliografia ==
* Haim Brezis (1983), ''Analyse fonctionelle, théorie et applications'', Paris, New York, 1983. ISBN 2-225-77198-7.
* {{cita libro | cognome= Mencuccini| nome= Corrado |coautori=Vittorio Silvestrini | titolo= Fisica II| editore= Liguori Editore | città= Napoli| anno=2010 |id= ISBN 978-88-207-1633-2|cid= mencuccini }}
==Voci correlate==
| |||