Coerenza (logica matematica): differenze tra le versioni
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In [[logica matematica]] una teoria formale si dice '''consistente''' o '''coerente''' (dalla sinonimia inglese delle parole 'consistent' e 'coherent')<ref>{{cita web|http://forum.accademiadellacrusca.it/forum_12/interventi/5326.shtml|Accademia della Crusca}}</ref> se non è contraddittoria.
Tuttavia, ad un livello più avanzato, si intende, secondo l'uso che ne fa anche [[Kurt Gödel]], per ''consistenza'' la completezza degli [[assiomi]], ovvero la possibilità che un dato [[insieme]] di assiomi possa escludere qualsivoglia [[contraddizione]] ''a priori'', e per ''coerenza'' la non contraddizione dei [[Teorema|teoremi]] sviluppati a partire da un dato insieme di assiomi rispetto ad essi. Kurt Gödel, in risposta a quanti come [[David Hilbert]] a cavallo fra '800 e '900 avevano lanciato l'idea di un sistema matematico in grado di provare da solo la propria consistenza e coerenza, una cui applicazione sarebbe stata una macchina produttrice di teoremi, dimostra nei suoi [[Teoremi di incompletezza di Gödel|Teoremi di incompletezza]] come non esista alcun sistema logico completamente consistente e coerente, e che quindi la logica, anzi '''le''' logiche, siano intrinsecamente innumerevoli, quindi costruibili (come i [[software]]) esclusivamente dalle menti pensanti (quali gli esseri umani) in grado innanzitutto di notarne le inevitabili contraddizioni e anche stabilire di volta in volta insiemi diversi di assiomi.<ref>La dimostrazione del teorema è molto semplice da spiegare. Data la proposizione, ammissibile in qualsiasi sistema logico, "Questo teorema non è dimostrabile", se è dimostrabile non si dimostra e se non è dimostrabile si dimostra. Ciò implica che qualsiasi insieme di presupposti non è completamente nè completo (''consistente'') nè logico (''coerente'')</ref>
A priori si distiguono due livelli di consistenza:
* '''consistenza sintattica''' se nella teoria non si possono dimostrare contemporaneamente una [[formula ben formata]] e la sua negazione;
* '''consistenza semantica''' se la teoria ammette almeno un [[modello (logica matematica)|modello]].
Si dimostra che per una [[teoria del primo ordine]] ciascuno dei due tipi di consistenza implica l'altro. Dimostrare una delle due implicazioni è semplice mentre dimostrare che una teoria ''sintatticamente consistente'' ammette sempre un modello non
L'esempio più semplice di teoria del primo ordine ''non'' consistente è dato dalla teoria che ha un unico simbolo predicativo ''p'' e come unico assioma:
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