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IlPer '''logicismoLogicismo''' èsi intende il tentativo di ridurre la [[matematica]] ai concetti ed alle regole della [[logica]]. PerSecondo le posizioni logiciste per lo sviluppo dell'[[aritmetica]] (e conseguentemente, della matematica stessa) non sarebbero necessari altri concetti che quelli della logica, essendo la matematica fondamentalmente un'applicazione specifica delle leggi universali della logica. Ogni concetto, teorema e legge della matematica può essere quindi dedotto e dimostrato partendo dagli assiomi fondamentali della logica.
Questo pensiero si trova già in [[Gottfried Leibniz]] che cercava una "''[[mathesis universalis]]"'', una scienza universale, da cui potessero essere dedotte tutte le altre scienze come istanze specifiche. Comunemente il logicismoLogicismo viene associato soprattutto con [[Gottlob Frege|Frege]], [[Bertrand Russell|Russell]] e [[Alfred North Whitehead|Whitehead]].
==Contesto storico==
Agli inizi del [[XX secolo]] molti logici e matematici erano interessati a dare un nuovo fondamento alle discipline matematiche. A parte Frege, anche [[Richard Dedekind]] e [[Giuseppe Peano]] volevano ricondurre i concetti fondamentali della matematica, specialmente il concetto di [[numero naturale]], aia concettidefinizioni dellaformali logicain termini strettamente logici. Molti matematici famosi, quali [[Karl Weierstrass]], [[Richard Kronecker]], e [[Hermann von Helmholtz]] etc., si erano pronunciati sul concetto di numero alla fine del [[XIX secolo]], spesso in senso più [[Filosofia|filosofico]] o perfino [[Psicologia|psicologico]], tentando di ricondurre il concetto di numero a concetti di altri campi, come il tempo, o lo spazio, etc. o cercando le sue origini nel processo di enumerazione. I due grandi schieramenti sono quello dello [[psicologismoPsicologismo]] e quello del [[formalismoFilosofia della matematica#Formalismo|Formalismo]]. Il primo tenta di ridurre le leggi della matematica e della logica ai processi mentali, cercando di definire il concetto di numero in base a come sorge naturalmente nel pensiero. Il secondo pone assiomi che definiscono gli elementi base di un sistema e deducono i teoremi da essi secondo le leggi della logica, ottenendo però un sistema "[[Nominalismo|nominalista]]", la cui applicazione alle scienze può essere messa in dubbio. Il logicismoLogicismo, il quale sostiene che la matematica non ha un proprio dominio, ma tratta puramente di relazioni di idee e che queste relazioni sianosono analitiche, rientra in questa seconda categoria.
===Il tentativo di Frege===
Nella formulazione del logico e matematico [[Gottlob Frege]] ([[1848]]-[[1925]]) il programma logicista si prefiggeva due obiettivi:
* risolvere i concetti matematici, anche quelli considerati non ulteriormente definibili e perciò primitivi, in termini puramente logici;
* dimostrare i [[teorema|teoremi]] della matematica mediante l'applicazione dei principi e delle regole di inferenza del ragionamento logico.
Frege incontrò un certo successo nello sviluppo di un linguaggio simbolico capace di [[Sistema formale|formalizzare]] i ragionamenti: tale linguaggio "ideografico", che si rifaceva ai primi approcci alla formalizzazione intrapresi da [[George Boole]] e faceva uso di strumenti concettuali simili a quelli della [[Teoria ingenua degli insiemi|teoria intuitiva degli insiemi]] di [[Georg Cantor]] fu esposto da Frege nel suo libro ''Ideografia''.
Mentre stava scrivendo il secondo volume dei "Principi dell'aritmetica", Frege ricevette una lettera in cui [[Bertrand Russell]], uno dei pochi a dimostrare interesse per il programma dell'oscuro pensatore tedesco all'inizio del Novecento, gli comunicava un'antinomia fondamentale che vanificava la sua intera opera. L'antinomia è oggi nota con il nome di [[paradosso di Russell]]. Frege non si sarebbe più ripreso dal colpo infertogli da Russell e per il resto della sua vita si sarebbe tenuto lontano dal problema dei fondamenti della matematica. Infatti la [[teoria degli insiemi]] sviluppata da [[Georg Cantor]] e utilizzata da Frege può essere dimostrata internamente contradittoria tramite la definizione di un insieme molto particolare: l'insieme che contiene tutti gli insiemi che non contengono se stessi come membri ("''The set of all sets that do not contain themselves as members''"). La definizione di questo insieme porta al paradosso che questo insieme contiene e non contiene sé stesso, dimostrando che la definizione di insieme di Frege non poteva essere usata come fondamento certo della definizione del concetto di numero e quindi della matematica. ▼
▲Mentre stava scrivendo il secondo volume dei "''Principi dell'aritmetica "'', il libro in cui procedeva alla vera e propria riduzione alla logica dei concetti basilari dell'aritmetica stessa, Frege ricevette una lettera in cui [[Bertrand Russell]], uno dei pochi a dimostrare interesse per il programma dell'oscuro pensatore tedesco all'inizio del Novecento, gli comunicava un' [[antinomia ]] fondamentale che vanificava la sua intera opera , dimostrando la contraddittorietà di uno degli assiomi su cui si era basato. L'antinomia è oggi nota con il nome di [[paradosso di Russell]]. Frege non si sarebbe più ripreso dal colpo infertogli da Russell e per il resto della sua vita si sarebbe tenuto lontano dal problema dei fondamenti della matematica. InfattiLa conseguenza del paradosso di Russell è che la [[teoria degli insiemi]] sviluppata da [[Georg Cantor]] e utilizzata da Frege può essere dimostrata internamente contradittoria tramite la definizione di un insieme molto particolare: l'insieme che contiene tutti gli insiemi che non contengono se stessi come membrielementi ( "'' "The set of all sets that do not contain themselves as members "'' "). La definizione di questo insieme porta al paradosso che questo insieme contiene e non contiene sése stesso, dimostrando che la definizione di insieme di Frege non poteva essere usata come fondamento certo della definizione del concetto di numero e quindi della matematica.
===Il tentativo di Russell===
AlIn contrariocontinuità con il Logicismo di Frege, Russell si sarebbe cimentato, assieme al collega [[Alfred North Whitehead]], nel tentativo di superare la sua stessa antinomia, dando alla luce i tre ponderosi volumi dei ''[[Principia Mathematica]]'', pubblicati tra il [[1910]] e il [[1913]]. Quest'opera rappresentò il più grandioso tentativo di realizzare il sogno fregeano di una fondazione logica della matematica, anzi lo spirito russelliano si dimostrò ancora più radicale di quello del suo predecessore nella misura in cui arrivò a coinvolgere la [[geometria]], precedentemente esclusa da Frege.
La riduzione logicista (che venne chiamata [[teoria dei tipi]]) fu raggiunta da Russell a costo di alcune ambiguitàforzature, che negli anni a seguire provocarono il progressivo disfacimento del sistema eretto nei ''Principia''. Punti deboli della sistemazione russelliana si rivelarono:
* il [[predicativismo]] della logica declinata da Russell nella [[teoria dei tipi]] a fronte del non predicativismo della matematica;
===Il fallimento del progetto logicista===
Nonostante gli sforzi di [[Frank Plumpton Ramsey]] ([[1903]]-[[1930]]), il programma logicista si inaridì e venne soppiantato da altri approcci al problema dei fondamenti della matematica, quali il formalismoFormalismo di [[David Hilbert|Hilbert]] o l'[[intuizionismoIntuizionismo]] di [[Henri Poincaré|Poincaré]] e [[Luitzen Brouwer|Brouwer]]. Il [[neologicismoNeologicismo]], proposto tra l'altrogli altri da [[Crispin Wright]], tenta di rianimare il programma logicista.
* Il Logicismo si avviò ad essere superato quando gli intuizionisti cominciarono a sostenere l'impossibilità di fondare la matematica sulla logica: secondo loro, il tentativo di ridurre la matematica alla logica fallisce perché la logica da sola non è sufficiente. Il logicismoLogicismo adopera anche concetti dalla teoria degli insiemi , chela quale è [[ontologia|ontologicamente]] più ricca della mera logica. Non esiste comunque una necessità a priori che garantisca l'esistenza dei vari stratilivelli di insiemi e insiemi di insiemi presupposti da Cantor, Frege e Russell. ▼Ci sono vari argomenti contro il progetto logicista:
*Comunque, Il tentativol'impossibilità di derivare la matematica dalla logica falliscefu perché,dimostrata comedefinitivamente da [[Kurt Gödel]] hanel dimostrato[[1931]] conper imezzo di suoidue [[Teoremi di incompletezza di Gödel|teoremi di incompletezza]] ,: ogni sistema sufficientemente complesso da fondare l'aritmetica , è ''ipso facto'' o incompleto o incoerente , e inoltre non è in grado di dimostrare la sua stessa validità. ▼▲* Il tentativo di ridurre la matematica alla logica fallisce perché la logica da sola non è sufficiente. Il logicismo adopera anche concetti dalla teoria degli insiemi che è [[ontologia|ontologicamente]] più ricca della mera logica. Non esiste comunque una necessità a priori che garantisca l'esistenza dei vari strati di insiemi e insiemi di insiemi presupposti da Cantor, Frege e Russell.
▲* Il tentativo di derivare la matematica dalla logica fallisce perché, come [[Kurt Gödel]] ha dimostrato con i suoi [[Teoremi di incompletezza di Gödel|teoremi di incompletezza]], ogni sistema sufficientemente complesso da fondare l'aritmetica, è ''ipso facto'' o incompleto o incoerente.
==Bibliografia==
===Opere storiche===
* [[Georg Cantor]], "''Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen."'', Leipzig:Lipsia, B. G. Teubner.
* [[Richard Dedekind]], ''Stetigkeit und irrationale Zahlen'' ("Continuità e numeri irrazionali"), 1872.
* Richard Dedekind, "''Was sind und was sollen die Zahlen?"'' Braunschweig, 1888.
* [[Gottlob Frege]], ''Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens'', Halle a. S., 1879.
* Gottlob Frege, ''Die Grundlagen der Arithmetik ("I fondamenti dell'aritmetica"): eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl'', Breslau, 1884 .
* Gottlob Frege, ''Grundgesetze der Arithmetik ("Principi dell'aritmetica")'', Jena:, Hermann Pohle, Band I (1893), Band II (1903) .
* [[Hermann von Helmholtz]], "«Zählen und Messen"», in ''Philosophische Aufsätze'', Eduard Zeller gewidmet, 1887.
* [[David Hilbert]], "''Grundlagen der Geometrie"'', 1899.
* [[Giuseppe Peano]], "''Arithmetices principia, nova methodo exposita"'', Torino:, Bocca, 1889.
* [[Bertrand Russell]] "''The Principles of Mathematics"'', Cambridge:, University Press, 1903.
* Bertrand Russell &e [[Alfred North Whitehead]], "''Principia Mathematica"'', Cambridge:, University Press, 3 volsvoll., 1910, 1912, 1913.
* ''Philosophy of Mathematics - selected readings'', ed.Cambridge, University Press, Benacerraf & Putnam, Cambridge: University Press, 2ed1983<sup>2</sup>. 1983▼
===Testi contemporanei===
▲* ''Philosophy of Mathematics - selected readings'', ed. Benacerraf & Putnam, Cambridge: University Press, 2ed. 1983
<!-- Cioffi -->* {{cita libro|cognome=Cioffi |nome=F. |coautori=F. Gallo, G. Luppi, A. Vigorelli, E. Zanette |titolo=Diálogos |anno=2000 |editore=Edizioni Scolastiche Bruno Mondadori|città= |lingua= |id=ISBN 88-424-5264-5 |pagine=vol. 3 |cid=Cioffi }}
<!-- Ferrandi -->* {{cita libro|nome=Clementina |cognome=Ferrandi |titolo=Filosofia e scienza – Un intreccio fecondo |editore=Il Capitello |città=Torino |anno=1991 |id= |pagine= |cid=Ferrandi}}
<!-- Maraschini -->* {{cita libro|nome=W. |cognome=Maraschini |coautori=M. Palma |titolo=ForMat, Spe |editore=Paravia |anno=2002 |pagine= vol. 3 |id=ISBN 88-395-1435-X |cid=Maraschini }}
<!-- Odifreddi -->* {{cita libro|cognome=Odifreddi |nome=P. |titolo=Il diavolo in cattedra|editore=Einaudi |anno=2003 |id=ISBN 88-06-18137-8 |pagine= |cid=Odifreddi }}
{{Crisi dei fondamenti della matematica}}
{{Portale|Filosofia}}
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