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Riga 1: {{S\|analisi matematica}} {{WIP\|Kamina}} In [[analisi matematica]], il '''raggio di convergenza''' <math> R </math> di una [[serie di potenze]] a coefficienti [[numero reale\|reali]] o [[numero complesso\|complessi]] è un numero reale positivo (o infinito) che indica l'aperto più grande su cui la serie converge.▼ ▲In [[analisi matematica]], il '''raggio di convergenza''' ~~<math>~~è Run ~~</math>~~numero dinon negativo (non necessariamente finito) associato a una [[serie di potenze]] a coefficienti [[numero reale\|reali]] o [[numero complesso\|complessi]] èche, unintuitivamente, ~~numero~~informa ~~reale~~sul ~~positivo~~comportamento (oglobale ~~infinito)~~della ~~che~~serie ~~indica~~in materia di [[convergenza]]. Più in dettaglio, il raggio di convergenza misura l'estensione dell'[[insieme aperto\|aperto]] più grande su cui la serie converge. ~~Se la serie è centrata in un punto <math>z_0 </math>, ed è quindi del tipo~~ :<math>\sum_{i=0}^\infty a_i(z-z_0)^i </math>▼ ~~questo aperto è:~~ ~~# nel caso reale, l'[[intervallo aperto]] <math> (z_0 - R, z_0 + R) </math> con centro <math> z_0 </math> e raggio <math> R </math>.~~ ~~# nel caso complesso, la [[palla (matematica)\|palla]] aperta <math> B = \{z \| \|z-z_0\|< R\} </math> centrata in <math> z_0 </math> e di raggio <math> R </math>.~~ Nel caso in cui <math> R = +\infty </math>, l'aperto di convergenza è tutta la [[retta reale]] o il [[piano complesso]]. Nel caso in cui <math> R=0 </math>, la serie non converge su nessun aperto (converge solo per <math>z=z_0</math>). == Definizione == Il raggio di convergenza può essere calcolato con vari metodi, simili a quelli utilizzati per determinare la convergenza delle [[serie numerica\|serie numeriche]], come ad esempio il criterio della radice e del rapporto. Esso per ogni serie è dato da: Sia <math>S</math> la serie di potenze: :<math>R= \frac 1{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|a_n\|}};</math>▼ ▲:<math>S(z) = \sum_{ik=0}^{+\infty ~~a_i~~}{a_k(z - z_0)^i k}</math> ~~qui lim sup denota il [[limite superiore e limite inferiore\|limite superiore]]. Una formula meno generale ma più semplice è la seguente:~~ e si supponga senza perdita di generalità che sia <math>z_0 = 0</math> (è sempre possibile ricondursi a questa situazione mediante una traslazione). Sia <math>E</math> l'insieme di [[convergenza puntuale]] della serie, ossia ~~:<math>R=\lim_{n\to\infty}\left\|\frac {a_n}{a_{n+1}}\right\|,</math>~~ :<math>E := \{ z \in \mathbb{C} : S(z) \text{ converge } \}</math>. ~~Questa formula è però applicabile solo se il limite a secondo membro esiste.~~ L'insieme contiene almeno l'origine, perché <math>S(0) = a_0</math>; si definisce allora ''raggio di convergenza'' della serie il numero reale<ref name = maderna>{{cita libro\|autore= C. Maderna \| titolo= Analisi Matematica 2 (nuova edizione) \|editore = Città Studi Edizioni \|città = Novara \| anno = 2010 \| pagine = 102-104\| id = ISBN 978-88-251-7353-6}}</ref>: La serie [[serie#Convergenza assoluta di una serie\|converge assolutamente]] per \|''x'' - ''c''\| < ''R'' e [[convergenza uniforme\|converge uniformemente]] su ogni sottoinsieme [[compatto]] del disco {''x'' :\| ''x'' − ''c''\| < ''R''}. :<math>r := \sup\{\|z\| : z \in E\}</math>, Per \|''x'' - ''c''\| = ''R'' non si dispone di alcun enunciato generale sulla convergenza o meno della serie. Si ha però il [[teorema di Abel]] che afferma che la somma della serie è continua in un punto ''x'' se in esso la serie è convergente. cioè il modulo del numero complesso più distante dall'origine in cui la serie converge puntualmente; per come è definito, <math>r</math> esiste e non può essere negativo, ma può valere <math>+ \infty</math> nel caso in cui <math>E</math> non sia [[insieme limitato\|limitato]]. Nel caso reale, <math>r</math> è semplicemente l'estremo superiore dell'insieme <math>E</math><ref>''Op. cit.'', pagg. 94-95.</ref>. == Proprietà == Si può dimostrare<ref>''Op. cit.'', pagg. 96; 102-103.</ref> che, se <math>r</math> è il raggio di convergenza della serie <math>S</math>: # Se <math>r = 0\,</math>, <math>S</math> converge solo nell'origine; # Se <math>0 < r < + \infty</math>, <math>S</math> [[convergenza assoluta\|converge assolutamente]] sul cerchio aperto <math>B = \{ z \in \mathbb{C} : \|z\| < r \}</math> e [[convergenza uniforme\|converge uniformemente]] in ogni [[insieme compatto]] incluso in <math>B</math>, mentre non converge in <math>z</math> se <math>\|z\| > r\,</math>; # Se <math>r = +\infty</math>, <math>S</math> converge assolutamente sull'intero [[piano complesso]], e uniformemente su ogni suo sottoinsieme compatto. La sola conoscenza del raggio di convergenza, quindi, determina quasi tutte le informazioni sulla convergenza della serie; tuttavia, la conoscenza di <math>r</math> non basta per conoscere il comportamento della serie sulla circonferenza <math>\delta B = \{ z \in \mathbb{C} : \|z\| = r \}</math>; esistono infatti serie che hanno il medesimo raggio di convergenza, ma comportamento diverso sull'insieme <math>\delta B</math>. === Esempi === {{...}} === Calcolo del raggio di convergenza === Esiste un metodo piuttosto semplice per calcolare il raggio di convergenza di una serie, basato su un'analisi dei coefficienti della serie stessa. Sia infatti <math>S</math> come sopra, e sia <math>\{a_k\}_k</math> la successione dei suoi coefficienti. Sia <math>\ell</math> il [[limite superiore]] della successione <math>\{\|a_k\|^{\frac{1}{k}}\}_k</math><ref>Il ''limite superiore'' di una successione è l'estremo superiore della [[classe limite]] di tale successione, ossia dell'insieme dei valori cui è possibile far tendere un'arbitraria [[sottosuccessione]] della detta successione; se questa non è limitata, la classe limite contiene almeno <math>+\infty</math> o <math>-\infty</math>; in caso contrario, esiste una sottosuccessione convergente a <math>p</math>, e la classe limite contiene <math>p</math>. Perciò, la classe limite non è mai vuota, e il limite superiore di una successione esiste sempre (unico). Se la classe limite contiene un solo elemento, il limite superiore coincide con l'ordinario [[limite di una successione\|limite della successione]].</ref>: ▲:<math>R\ell := \~~frac 1~~underset{~~\limsup_{n~~k \to +\infty}{\limsup}{\sqrt[nk]{\|~~a_n~~a_k\|}};</math>; evidentemente, <math>\ell \ge 0</math>. Si può dimostrare<ref>''Op. cit.'', pag. 97.</ref> che: # Se <math>\ell = 0 </math>, allora <math>r = + \infty </math>; # Se <math>0< \ell < +\infty</math>, allora <math>r = \frac{1}{\ell}</math>; # Se <math>\ell = +\infty</math>, allora <math>r = 0\,</math>. Inoltre, se esiste il limite <math>\ell^{\prime}</math> della successione <math>\{\frac{\|a_{k+1}\|}{\|a_k\|}\}_k</math> dei rapporti dei coefficienti consecutivi (che devono però essere in questo caso definitivamente non nulli), vale lo stesso risultato di cui sopra con <math>\ell^{\prime}</math> anziché <math>\ell</math>. == Note == <references /> == Voci correlate == * [[Successioni di funzioni]] * [[Serie di funzioni]] * [[Serie di potenze]] * [[Serie di Taylor]] {{Portale\|matematica}}

Raggio di convergenza: differenze tra le versioni