Raggio di convergenza: differenze tra le versioni
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=== Esempi ===
Per semplicità, si trattano esempi di serie definite sul [[numero reale|campo reale]]. Le seguenti tre serie hanno il medesimo raggio di convergenza, ma diverso comportamento sulla [[frontiera (topologia)|frontiera]] del loro insieme di convergenza puntuale.
* La [[serie geometrica]] <math>S : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> così definita<ref>Si pone per convenzione <math>x^0 = 1</math> anche quando <math>x=0</math>.</ref>:
:<math>S(x) := \sum_{i=0}^{+\infty}{x^k}</math>
ha raggio di convergenza <math>r = 1</math>, e converge sull'[[insieme aperto]] <math>E = (-1,1)</math>. La convergenza è [[convergenza assoluta|assoluta]] su tutto l'insieme.
* La serie <math>S : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> così definita:
:<math>S(x) := \sum_{i=0}^{+\infty}{\frac{x^k}{k}}</math>
ha raggio di convergenza <math>r = 1</math>, e converge sull'insieme <math>E = [-1,1)</math> (si può verificare la convergenza in <math>x=-1</math> tramite il [[criterio di Leibniz]]). La convergenza in <math>x=-1</math> non è assoluta, mentre lo è all'interno di <math>E</math>.
* La serie <math>S : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> così definita:
:<math>S(x) := \sum_{i=0}^{+\infty}{\frac{x^k}{k^2}}</math>
ha raggio di convergenza <math>r = 1</math>, e converge sull'[[insieme chiuso]] <math>E = [-1,1]</math>. La convergenza è assoluta su tutto l'insieme.
== Calcolo del raggio di convergenza ==
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