Similitudine tra matrici: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Nessun oggetto della modifica |
|||
Riga 9:
In particolare, la [[matrice identità]] è simile solo a se stessa.
== Invarianti per similitudine ==
Due matrici simili hanno lo stesso [[rango (algebra lineare)|rango]], [[determinante]] e [[traccia (matrice)|traccia]]. Si dice quindi che rango, determinante e traccia sono ''invarianti'' per similitudine.
La dimostrazione dell'invarianza del determinante passa per il [[teorema di Binet]]:
:<math> \det (M^{-1}BM) = \det(M^{-1})\cdot\det B\cdot\det M = </math>
:<math> (\det M)^{-1}\cdot\det B\cdot\det M = \det B\cdot(\det M)^{-1}\cdot\det M = \det B </math>
Line 29 ⟶ 27:
per cui <math>\lambda</math> è anche autovalore di <math> B </math> con autovettore <math>M x</math>.
La relazione di similitudine fra matrici è usata soprattutto per la sua stretta relazione con la teoria degli [[endomorfismo|endomorfismi]] di uno [[spazio vettoriale]], riassunta nell'asserzione seguente: sia ''T'' un endomorfismo di uno spazio vettoriale. Le [[matrice associata|matrici associate]] a ''T'' rispetto a due [[base (algebra lineare)|basi]] diverse dello spazio sono simili.
Una matrice simile ad una [[matrice diagonale]] si dice diagonalizzabile. Lo studio della diagonalizzabilità di una matrice è un problema centrale in algebra lineare. Non tutte le matrici sono diagonalizzabili, ed a tal proposito sui campi [[numeri reali|reale]] e [[numeri complessi|complesso]] la [[forma canonica di Jordan]] di una [[matrice quadrata]] ''A'' definisce una [[matrice triangolare]] ''J'' [[matrici simili|simile]] ad ''A'' che ha una struttura il più possibile vicina ad una [[matrice diagonale]]. In particolare, la matrice è diagonale se e solo se ''A'' è diagonalizzabile, altrimenti è divisa in blocchi detti ''blocchi di Jordan''.
▲=== Diagonalizzabilità ===
== Esempi ==
| |||