Teorema di Parseval: differenze tra le versioni
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Il '''Teorema o Identità di Parseval''' è un [[teorema]] dell'[[analisi complessa]]. Prende il nome dal [[matematico]] [[Francia|francese]] [[Marc-Antoine Parseval]].
==Il teorema==
Siano ''A''(''x'') e ''B''(''x'') due funzioni [[integrale di Riemann|Riemann integrabli]], valori complessi e definite su '''R'''. Siano esse periodiche con periodo 2&pi e sia la rappresentazione per mezzo della [[serie di Fourier]]:
Data una funzione generalmente <math>C^2</math> su <math>\R</math>, con derivata prima e seconda assolutamente convergenti, allora l'area sottesa dal modulo al quadrato della funzione è uguale a quella sottesa dal modulo al quadrato della sua trasformata di Fourier.▼
:<math>
=== Dimostrazione ===▼
Allora:
Sia '''s(t)''' un segnale periodico di periodo '''T''', sviluppabile in [[serie di Fourier]]:▼
:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\overline{b_n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x)\overline{B(x)} dx,</math>
▲
:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty |a_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |A(x)|^2 dx,</math>
▲Sia
:<math>s(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\,e^{2\pi i\frac{n}{T}t}</math>
la serie di Fourier della funzione, dove i coefficienti della serie sono allora dati da:
:<math>c_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} s(t)\,e^{-2\pi i\frac{n}{T}t} dt</math>
con <math>f=\frac{n}{T}</math> e <math>\omega=2\pi f\;</math>.
Allora si ha:
:
:<math>=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}(\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\,e^{2\pi i\frac{n}{T}t}\sum_{n=-\infty}^\infty \hat c_n\,e^{-2\pi i\frac{n}{T}t}) dt =</math>
:<math>=\frac{1}{T}\;</math><math>\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}(\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\hat c_n)dt =</math>
:<math>=\;</math><math>\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2</math>
== Dimostrazione del teorema di Plancherel==
In ambito ingegneristico questo teorema che più propriamente è detto di [[Plancherel]], al quale viene comunemente attribuito,
:<math>s(t):\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{R}^2;</math>
con:
:<math>\int_{-\infty}^\infty|s(t)|^2\mathrm{d}t<\infty</math>
Allora:
:<math>\int_{-\infty}^\infty|s(t)|^2\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^\infty s(t)\hat s(t)\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^\infty S(f)\hat S(f)\mathrm{d}f = \int_{-\infty}^\infty\ |S(f)|^2\mathrm{d}f</math>
==Applicazioni==
In molte occasioni,
Considerati due segnali di enargia <math>h(t)</math> e <math>g(t)</math>, il teorema di Parseval stabilisce che:
:<math>\int_{-\infty}^\infty{h(t)g(t)^*dt}=\int_{-\infty}^\infty{H(\omega)G(\omega)^*d\omega}</math>
Poiché <math>h(t)</math> è, per ipotesi, un segnale di energia, esiste la sua trasformata di Fourier <math>H(\omega)</math> e si può scrivere <math>h(t)</math> attraverso l'antitrasformata, ovvero:
:<math>h(t) = \int_{-\infty}^\infty{H(\omega)e^{j\omega t}d\omega}</math>
quindi:
:<math>\int_{-\infty}^\infty{h(t)g(t)^*dt}=\int_{-\infty}^\infty{ \left[ \int_{-\infty}^\infty{H(\omega)e^{j\omega t}d\omega} \right] g(t)^*dt}</math>
Scambiando l'integrazione nel tempo e quella in frequenza si ottiene:
:<math>\int_{-\infty}^\infty{h(t)g(t)^*dt}=\int_{-\infty}^\infty{H(\omega) \left[ \int_{-\infty}^\infty{g(t)^*e^{j\omega t}dt} \right] d\omega}</math>
Poiché anche <math>g(t)</math> è per ipotesi un segnale di energia, si conclude che come volevasi dimostrare:
:<math>\int_{-\infty}^\infty{h(t)g(t)^*dt}=\int_{-\infty}^\infty{H(f) \left[ \int_{-\infty}^\infty{g(t)e^{-j\omega t}dt} \right]^* d\omega}=\int_{-\infty}^\infty{H(\omega)G(\omega)^*d\omega}</math>
Considerando in particolare <math>h(t)=g(t)</math> si ottiene l'energia del segnale:
:<math>\int_{-\infty}^\infty{ \left | h(t) \right |^2 dt}=\int_{-\infty}^\infty{ \left | H(\omega) \right |^2 d\omega}</math>
In alternativa si può considerare che per ogni funzione trasformabile secondo Fourier si ha:
:<math>h(t) = \int_{-\infty}^\infty{H(\omega)e^{j\omega t}d\omega}</math>
da cui ponendo ponendo <math>t=0</math> si ottiene:
:<math>h(0) = \int_{-\infty}^\infty{H(\omega)d\omega}</math>
Ora dalla definizione di cross-correlazione tra due segnali di energia:
:<math>R_{hg}(\tau) = \int_{-\infty}^\infty{h(t)^*g(t+\tau)dt}</math>
che trasformata secondo Fourier fornisce, per il teorema della correlazione:
:<math>S_{hg}(\omega) = H^*(\omega)G(\omega)</math>
per cui da quanto detto in precedenza si conclude che:
:<math>R_{hg}(0) = \int_{-\infty}^\infty{S_{hg}(\omega)d\omega}</math>
ovvero ancora una volta:
:<math>\int_{-\infty}^\infty{h(t)g(t)^*dt}=\int_{-\infty}^\infty{H(\omega)G(\omega)^*d\omega}</math>
Un teorema analogo vale per segnali di potenza.
Line 102 ⟶ 108:
Si determini la potenza del segnale <math>s(t)</math> di periodo <math>T</math>.
:<math>s(t)=3sen\Bigl(\frac{2\pi t}{T}\Bigr)</math>
▲<math>P_s=\frac{E_s(T)}{T}=\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2</math>
:<math>
con <math>f_0=\frac{1}{T}</math>
<math>P_s=\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2=|\frac{3}{2i}|^2+|-\frac{3}{2i}|^2=\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2=\frac{9}{2}</math> ▼
▲:<math>P_s=\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2=|\frac{3}{2i}|^2+|-\frac{3}{2i}|^2=\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2=\frac{9}{2}</math>
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