* L'immagine di uno spazio connesso tramite una [[funzione continua]] è uno spazio connesso.
== Connessione per traiettoriecammini ==
[[File:Path-connected space.svg|thumb|Questo sottospazio di '''R'''² è connesso per traiettoriacammini, perché unaun traiettoriacammino può essere tracciatatracciato tra due punti qualsiasi nello spazio.]]
UnaUn '''[[TraiettoriaCammino (topologia)|traiettoriacammino]]''' da un punto ''x'' a un punto ''y'' in uno [[spazio topologico]] ''X'' è una [[Funzione continua#Continuità in topologia| funzione continua]] ''f'' dall'[[intervallo unitario]] [0,1] a ''X'' con ''f''(0) = ''x'' e ''f''(1) = ''y''. Una '''componente delladel traiettoriacammino''' di ''X'' è una [[classe di equivalenza]] di ''X'' in base alla [[relazione di equivalenza]] che rende ''x'' equivalente a ''y'' se c'è unaun traiettoriacammino da ''x'' a ''y''. Si dice che lo spazio ''X'' è '''connesso per traiettoriacammini''' (o '''0-connesso''') se c'è al massimo una componente delladel traiettoriacammino, cioè se c'è unaun traiettoriacammino che unisce due punti qualsiasi in ''X''. Di nuovo, molti altri escludono lo spazio vuoto.
Ogni spazio connesso per traiettoriacammini è connesso. L'inverso non è sempre vero: esempi di spazi connessi che non sono connessi per traiettoriacammini comprendono la [[Linea lunga (topologia)|linea lunga]] estesa ''L''* e il ''[[seno del topologo]]''.
Tuttavia i sottoinsiemi della [[linea reale]] '''R''' sono connessi [[se e solo se]] sono connessi per traiettoria; questi sottoinsiemi sono gli [[Intervallo (matematica)|intervalli]] di '''R'''. Inoltre, gli [[Insieme aperto|insieme aperti]] di '''R'''<sup>''n''</sup> o '''C'''<sup>''n''</sup> sono connessi se e solo se sono connessi per traiettoriacammini. In più, la connessione e la connessione per traiettoriecammini sono la stessa cosa per gli spazi topologici finiti.
