Sistema dinamico lineare stazionario discreto: differenze tra le versioni
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Unendo le precedenti si ottiene il processo LIT, descritto da equazioni matriciali lineari:
:<math>\left\{\begin{array} {c} x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)\\y(n)=Cx(n)+Du(n)\end{array} \right.\,
dove le matrici sono costanti.
===Esempio===
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Secondo il modello di Samuelson i consumi si possono assumere proporzionali al prodotto interno lordo dell'anno precedente, pertanto si ha:
:<math>C(n)=mP(n-1) \ </math>
e quindi <math>C(n+1)=mP(n) </math> con 0<m<1 dove m è la propensione marginale al consumo. Inoltre. sempre secondo tale modello gli investimenti sono proporzionali all'incremento di consumo per cui si ha:
:<math>I(n+1)=\mu(C(n+1)-C(n)) \ </math>.
Infine vi è l'equazione di bilancio:
:<math>P(n)=C(n)+I(n)+G(n) \ </math>
Risolvendo il sistema si ricava che:
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m\mu\end{array}\right);</math>
:<math>C=(1 \quad 1)
:<math>D=(1) \
== Soluzione del sistema ==
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Si deve valutare per n=0,1,2,... e pertanto si ha:
:<math>x(1)=Ax(0)+Bu(0) \ </math>
:<math>x(2)=Ax(1)+Bu(1)=A^2x(0)+ABu(0)+Bu(1) \ </math>
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Occorre distinguere i seguenti casi:
* ''A'' ammette soltanto [[autovalori]] [[reali]] con molteplicità algebrica uguale alla molteplicità geometrica per ogni autovalore
* ''A'' ammette soltanto autovalori [[complessi coniugati]]
* ''A'' ammette sia autovalori reali che complessi coniugati
* ''A'' non è [[diagonalizzabile]].
===
In tal caso considerata la matrice ''P'', ''n'' per ''n'', le cui colonne sono gli [[autovettori]] di A [[linearmente indipendenti]] che generano ciascun autospazio relativo ad ogni autovalore si ottiente, dalla teoria della diagonalizzazione delle matrici:
:<math>P^{-1}AP=\Lambda \ </math>
dove <math>\Lambda</math> è la [[matrice diagonale]] in cui sulla diagonale principale vi sono gli autovalori di A ripetuti eventualemnte ciascuno con la propria molteplicità. In particolare, se gli autovalori di A sono reali e distinti sulla matrice diagonale <math>\Lambda</math> vi saranno gli n autovalori distinti di ''A''. Essendo <math>A=P \Lambda P^{-1}</math> allora:
:<math>A^{n}=(P \Lambda P^{-1})(P \Lambda P^{-1})...(P \Lambda P^{-1})=P\Lambda^{n}P^{-1} \ </math>
pertanto,
:<math>x(n)=P\Lambda^{n}P^{-1} x(0)+\sum _{l=0}^{n-1}P\Lambda^{n-l-1}P^{-1} Bu(l) \ </math>.
Si nota che la ''
:<math>x_{l}(n)=P\Lambda^{n}P^{-1} x(0)</math>
mentre
:<math>x_{f}(n)=\sum _{l=0}^{n-1}P\Lambda^{n-l-1}P^{-1} Bu(l) \ </math>
Inoltre la ''
:<math>y_{l}(n)=CP\Lambda^{n}P^{-1} x(0) \ </math>
mentre la ''
:<math>y_{f}(n)=\sum _{l=0}^{n-1}CP\Lambda^{n-l-1}P^{-1} Bu(l)+Du(n) \ </math>
===
Volendo analizzare il caso in cui A ammette soltanto autovalori complessi coniugati, supponiamo che ''A'' sia una matrice 2 per 2 e siano <math>\alpha+j\omega</math> (''j'' è l'[[unità immaginaria]]) e <math>\alpha-j\omega</math> i 2 autovalori complessi coniugati di ''A'' e <math>u_{a}+ju_{b}</math> e <math>u_{a}-ju_{b}</math> i due autovettori complessi coniugati corrispondenti.
Allora, applicando la definizione di autovalore e di autovettore si ha la seguente equazione algebrica:
:<math>(A-(\alpha+j\omega)I)((u_{a}+ju_{b})=0 \ </math>
:<math>((A-\alpha I)u_{a}+\omega u_{b})+j((A-\alpha I)u_{b}+\omega u_{a}))=0 \ </math>
Affinché l'equazione sia vera è necessario che parte reale e parte immaginaria si annullino entrambe pertanto si ha il sistema:
:<math>\begin{array}{c} (A-\alpha I)u_{a}+\omega u_{b}=0\\ (A-\alpha I)u_{b}+\omega u_{a}=0\end{array} \ </math>
che può essere posto nella forma:
Line 141 ⟶ 140:
-\omega & \alpha \end{array}\right)</math>
Pertanto se si pone <math>T^{-1}</math> uguale alla matrice le cui colonne sono la parte reale e immaginaria dei
:<math>TAT^{-1}=\left(\begin{array}{cc}
Line 172 ⟶ 171:
- \; \mathrm{sen} (n-l-1) \beta & \cos (n-l-1) \beta \end{array}\right)T Bu(l)</math>.
===Autovalori
Supponiamo che la matrice ''A'' di ordine ''n'' ammetta ''k'' autovalori reali distinti <math>\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k</math> a cui corrispondono ''k'' autovettori distinti <math>v_1,v_2,...,v_k</math> allora si hanno le seguenti equazioni:
:<math>\begin{array}{c} Av_1=\lambda_1v_1\\Av_2=\lambda_2v_2\\...\\Av_k=\lambda_kv_k \end{array}</math>
Supponiamo inoltre che la matrice A ammetta p coppie di autovalori complessi coniugati la cui ''p''-esima coppia è:<math>\alpha_p+j\omega_p</math> e <math>\alpha_p-j\omega_p</math> a cui corrisponde la coppia di autovettori complessi coniugati <math>u_{a_p}+ju_{b_p}</math> e <math>u_{a_p}-ju_{b_p}</math> allora per quanto visto nel caso precedente per la p-esima coppia, se <math>\tau_p</math> è il modulo dell'autovalore p-esimo e <math>\beta</math> il suo argomento si ha:
:<math>A(u_{a_p} u_{b_p})=(u_{a_p} u_{b_p})\tau_p\left(\begin{array}{cc}
Line 185 ⟶ 182:
- \; \mathrm{sen} \,\beta_p & \cos \beta_p \end{array}\right)</math>
Ora posto <math>T^{-1}</math> uguale alla matrice le cui colonne sono i k autovettori corrispondenti agli autovalori reali e le parti reali e immaginarie delle ''p'' coppie di autovettori complessi coniugati, cioè:
:<math>T^{-1}=(v_1,v_2,...,v_k,u_{a_1},u_{b_1},u_{a_2},u_{b_2},...,u_{a_p},u_{b_p})</math>
allora dalle precedenti equazioni si ha la [[matrice diagonale a blocchi]]: :<math>TAT^{-1}=\mbox{diag} \left(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k,\tau_p\left(\begin{array}{cc}
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