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Esistono numeri ordinali che non possono essere ottenuti a partire da ω con un numero finito di addizioni, moltiplicazioni ed elevamenti a potenza. Il più piccolo di questi è indicato con
ε<sub>0</sub>. Questo ordinale è molto importante in molte dimostrazioni per induzione, perché per molti scopi l'[[induzione transfinita]] è richiesta solo fino a ε<sub>0</sub>. Si noti che <math>\epsilon_0varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}}</math>, così <math>\epsilon_0varepsilon_0 = \omega^{\epsilon_0varepsilon_0}</math>. Un'altra formula è
: <math>\epsilon_0varepsilon_0=1+\omega+\omega^\omega+\omega^{\omega^\omega}
+\omega^{\omega^{\omega^\omega}}+\dots </math>.
L'ordinale <math>\epsilon_0varepsilon_0</math> è anche il primo numero che soddisfa l'equazione di Cantor <math>\omega^\epsilonvarepsilon=\epsilonvarepsilon</math>. Questa equazione ha infinite soluzioni: la successiva è
:<math>\epsilon_1varepsilon_1=(\epsilon_0varepsilon_0+1)+\omega^{\epsilon_0varepsilon_0+1}+\omega^{\omega^{\epsilon_0varepsilon_0+1}} +\omega^{\omega^{\omega^{\epsilon_0varepsilon_0+1}}}+\dots</math>,
cui seguono
: <math>\epsilon_1varepsilon_1, \epsilon_2varepsilon_2, \dots, \epsilon_varepsilon_\omega, \epsilon_varepsilon_{\omega+1}, \dots, \epsilon_varepsilon_{\omega2},\dots,\epsilon_varepsilon_{\omega^2},\dots,\epsilon_varepsilon_{\omega^\omega},\dots, \epsilon_varepsilon_{\epsilon_0varepsilon_0},\dots, \epsilon_varepsilon_{\epsilon_0varepsilon_0+\omega},\dots, \epsilon_varepsilon_{\epsilon_0varepsilon_0+\omega^\omega} , \dots,</math>
:<math> \epsilon_varepsilon_{\epsilon_0varepsilon_0 2},\dots,\epsilon_varepsilon_{\epsilon_1varepsilon_1},\dots, \epsilon_varepsilon_{\epsilon_2varepsilon_2}, \dots, \epsilon_varepsilon_{\epsilon_varepsilon_\omega},\dots, \epsilon_varepsilon_{\epsilon_varepsilon_{\epsilon_0varepsilon_0}},\dots, \epsilon_varepsilon_{\epsilon_varepsilon_{\epsilon_1varepsilon_1}},\dots, \epsilon_varepsilon_{\epsilon_varepsilon_{\epsilon_varepsilon_\omega}}, \dots, \epsilon_varepsilon_{\epsilon_varepsilon_{\epsilon_varepsilon_{\epsilon_0varepsilon_0}}},\dots</math>
e così via fino a <math>\epsilon_varepsilon_{\epsilon_varepsilon_{\epsilon_varepsilon_{\epsilon_varepsilon_{\epsilon_varepsilon_\dots}}}}</math>, che è la prima soluzione di <math>\epsilon_varepsilon_\alpha=\alpha</math>.
<math>\epsilon_0varepsilon_0</math> è ancora [[numerabile]]. Esistono ordinali non numerabili. Il più piccolo ordinale non numerabile è uguale all'insieme di tutti gli ordinali numerabili, e solitamente viene indicato con ω<sub>1</sub>.
== Topologia e ordinali limite ==
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