Statistica di Fermi-Dirac: differenze tra le versioni
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== La funzione di distribuzione di Fermi-Dirac ==
È possibile ottenere da argomenti statistici (come esplicitato nel prossimo paragrafo) la forma della distribuzione di Fermi-Dirac, cioè del numero medio di fermioni che occupano uno stato di singola particella di energia <math>\
:<math>\left\langle n\right\rangle = \frac{1}{\exp\left(\frac{\varepsilon - E_F}{k_B T}\right) + 1}</math>
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* <math>\left\langle n \right\rangle</math> è il numero medio di particelle nello stato considerato;
* ''exp'' è la [[funzione esponenziale]];
* <math>\
* ''E<sub>F</sub>'' è l'[[energia di Fermi]];
* ''k<sub>B</sub>'' è la [[costante di Boltzmann]]
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Consideriamo un sistema di <math>N</math> fermioni, che possono occupare degli stati di
singola particella individuati da una collezione <math>\nu</math> di numeri quantici, a cui
è associata l'energia <math>\
numero medio di occupazione dello stato <math>\nu</math>, supponendo che esso dipenda solo
da <math>\
Otterremo questa distribuzione mediante il principio di massimo dell'[[Entropia (termodinamica)|entropia]], cercando cioè la distribuzione che rende massima l'espressione di [[Ludwig Boltzmann|Boltzmann]]-[[Willard Gibbs|Gibbs]] dell'[[Entropia (termodinamica)|entropia]], con i
vincoli che il numero totale di particelle sia pari a <math>N</math> e l'energia totale del sistema
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:<math>S= k_B \ln W \ </math>
dove <math>W</math> è il numero di stati microscopici che corrispondono a quella distribuzione. Supponiamo di raggruppare gli stati microscopici in gruppi, tali che il gruppo ''j'' contiene ''G<sub>j</sub>'' stati di singola particella e ''N<sub>j</sub>'' particelle, con <math>G_j,N_j \gg 1</math>, e tuttavia le energie corrispondenti siano molto vicine fra loro e a un'energia "media" <math>\
<math>n_j = N_j/G_j</math>
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che deve essere massimizzato con i vincoli
:<math> \sum_j G_j n_j=N;\qquad \sum_j G_j n_j \
Questo è un problema di [[metodo dei moltiplicatori di Lagrange|estremo vincolato]] che si risolve introducendo due [[metodo dei moltiplicatori di Lagrange|moltiplicatori di Lagrange]] <math>\alpha</math> e <math>\beta</math>. La soluzione è
:<math>\frac{n_j}{1-n_j}=exp(\alpha-\beta \
Risolvendo rispetto a <math>n_j</math> si ottiene
:<math>n_j=\frac{1}{\exp(\beta \
che coincide con la distribuzione di Fermi ove si ponga
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ovvero la distribuzione vale 1 se <math>\varepsilon < \mu_0</math> e 0 se <math>\varepsilon > \mu_0</math>.
In queste condizioni, il sistema occupa tutti e soli gli stati di singola particella con energia inferiore a un valore massimo <math>\
* L'[[equazione di stato]] ha la forma <math>p V^\gamma=\mathrm{cost.}</math>, dove <math>\gamma=5/3</math>, invece dell'usuale <math>pV=\mathrm{cost.}</math>
* Il calore specifico è proporzionale a <math>T</math>
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