Differenze tra le versioni di "Onda elettromagnetica in un conduttore"

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Le [[equazioni di Maxwell]] nel caso di un conduttore ohmico [[Omogeneità (fisica)|omogeneo]] e [[Isotropia|isotropo]] permettono di ricavare l'equazione delle onde per il [[campo elettrico]] ed il [[campo magnetico]] all'interno di un conduttore:<ref name=eq>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 481|mencuccini}}</ref>
 
:<math> \nabla^2 \mathbf E - \epsilonvarepsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2} - \sigma \mu \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = 0 </math>
 
:<math> \nabla^2 \mathbf H - \epsilonvarepsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf H}{\partial t^2} - \sigma \mu \frac{\partial \mathbf H}{\partial t} = 0 </math>
 
dove <math>\sigma</math> è la [[conducibilità elettrica]].
Supponendo la conducibilità elettrica costante, dalla quarta equazione di Maxwell si ottiene, sostituendo a <math>\mathbf J</math> la legge di Ohm:
 
:<math>\mathbf \nabla \times \mathbf H = \sigma \mathbf E + \epsilonvarepsilon \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}</math>
 
applicando il rotore ed usando le relazioni tra operatori si ottiene:
 
:<math>\mathbf \nabla \times \mathbf \nabla \times \mathbf H = - \nabla^2 \mathbf H + \mathbf \nabla \mathbf \nabla \cdot \mathbf H = \sigma (\mathbf \nabla \times \mathbf E) + \epsilonvarepsilon \frac{\partial}{\partial t} (\mathbf \nabla \times \mathbf E)</math>
 
Sapendo che nella seconda uguaglianza:
dove:
 
:<math>\alpha^2 = \omega^2 \epsilonvarepsilon \mu - j \omega \sigma \mu \ </math>
 
con parte reale e immaginaria data da:
 
:<math>\Re(\alpha) = \omega \sqrt{\frac{\epsilonvarepsilon \mu}{2} \left( 1\pm \sqrt{1+ \frac{\sigma^2}{\omega^2 \epsilonvarepsilon^2}} \right)}</math>
 
:<math>\Im(\alpha) = \frac{\omega \sigma \mu}{2 \cdot \Re(\alpha)} </math>