Equazione differenziale lineare del secondo ordine: differenze tra le versioni
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che evidentemente ha come soluzione banale <math>y=0</math>. Si cercano quindi soluzioni non banali della (2). Se <math>y_{1}, y_{2}</math> sono due soluzioni linearmente indipendenti di questa equazione allora anche:
:<math>(3)~~~ \, y = c_1 y_{1} + c_2 y_{2}</math>
è soluzione per ogni valore delle costanti <math>c_1</math> e <math>c_2</math>, anzi tutte le soluzioni della (2) sono della forma '''(3)'''.
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Ora, la differenza di due qualunque soluzioni della (1) deve essere soluzione della (2), quindi per trovare la soluzione generale dell'equazione (1) basterà trovare una soluzione particolare <math>u(x)</math> dell'equazione (1) e sommarle la generica soluzione dell'equazione omogenea associata:
:<math>(3')~~~ \, y = u(x) + c_1 y_{1} + c_2 y_{2}</math>
Ovviamente, invece di indicare la famiglia parametrica di tutte le soluzioni della (1), è possibile che venga chiesto di risolvere l'equazione (1) con dei valori iniziali assegnati ([[problema di Cauchy]]):
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==Equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti==
===L'equazione omogenea associata===
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La sua risoluzione consiste nel cercare una soluzione del tipo:
:<math>y= e^{\lambda x}</math>
Se sostituiamo nella '''(5)''', derivando, e mettiamo in evidenza <math>e^{\lambda x}</math> :
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*reali e distinte: <math>\lambda_1,\lambda_2</math>, allora la soluzione sarà del tipo:
:<math>y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x}</math>
*reali e coincidenti: <math>\lambda_1 = \lambda_2</math>, allora la soluzione sarà del tipo:
:<math>y = \left(c_1 + c_2 \cdot x \right) e^{\lambda_1 x}</math>
*complessi e coniugati: <math>\lambda_{1,2} = \alpha \pm i \beta</math>, allora possiamo prendere la parte reale e immaginaria separatamente:
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==Equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti variabili==
===L'omogenea associata===
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Cerchiamo una soluzione dello stesso tipo di quella dell'omogenea considerando però le costanti come funzioni:
:<math>(9)~~~ \, u(x) = c_1 (x) y_{1} + c_2 (x) y_{2}</math>
dove <math> y_{1} </math> e <math> y_{2} </math> sono due soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea associata (2) (due soluzioni sono tra loro indipendenti se il loro rapporto NON è costante). Dal momento che <math> y_{1} </math> e <math> y_{2} </math> sono note e le funzioni <math> c_{1} </math> e <math> c_{2} </math> incognite, queste ultime vanno determinate in modo che (9) soddisfi l'equazione completa (1). Inoltre, poiché le funzioni da determinare sono due, si
Si scelga:
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:<math>\begin{cases} c_{1}^{'} (x) y_{1} + c_{2}^{'} (x) y_{2} = 0 \\ c_{1}^{'} (x) y_{1}^{'} + c_{2}^{'} (x) y_{2}^{'} = f(x) \end{cases}</math>
Una volta ricavati <math>c_{1}^{'} (x), c_{2}^{'} (x)</math> (
:<math>u(x) = c_1 (x) y_{1} + c_2 (x) y_{2} \,\!</math>
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{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Equazioni differenziali ordinarie|Lineari del secondo ordine]]
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