Sviluppo in multipoli: differenze tra le versioni
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== Sviluppo in multipoli in armoniche sferiche ==
:<math>f(\theta,\phi) = \sum_{l=0}^\infty\, \sum_{m=-l}^{l}\, C^m_l\, Y^m_l(\theta,\phi)</math>
dove <math>Y^m_l(\theta,\phi)</math> sono le
In modo equivalente, la serie può essere scritta come:<ref>{{cite book | last = Thompson | first = William J. | title = Angular Momentum | publisher = John Wiley & Sons, Inc.}}</ref>
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:<math>f(\theta,\phi) = C + C_i n^i + C_{ij}n^i n^j + C_{ijk}n^i n^j n^k + C_{ijkl}n^i n^j n^k n^l + \cdots</math>
dove ogni <math>n^i</math> è un [[versore]] nella direzione data dagli angoli <math>\theta</math> e <math>\phi</math>, mentre gli indici sono sommati secondo la [[Notazione di Einstein|convenzione di Einstein]]. Il termine <math>C</math> è il monopolo, <math>C_i</math> è un insieme di tre numeri che descrive il dipolo, e così via.
Nel caso si considerino funzioni in tre dimensioni in una regione distante dall'origine degli assi, i coefficienti dell'espansione in multipoli possono essere scritti in funzione della distanza <math>r</math> dall'orgine, solitamente attraverso la [[serie di Laurent]] delle potenze di <math>r</math>. In tale contesto, il potenziale elettromagnetico <math>V</math> generato da una sorgente posta in prossimità dell'origine e calcolato in un punto sufficientemente distante da essa è espresso nel seguente modo:
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