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Sviluppo in multipoli: differenze tra le versioni

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Il potenziale <math>V(\mathbf R)</math> nel punto <math>\mathbf R</math> generato dalla distribuzione di carica fuori dalla regione in cui sono poste le cariche, ovvero per <math>|\mathbf R| < r_M</math>, può essere espresso in potenze di <math>1 \over R</math>. In letteratura questo viene effettuato sia in coordinate polari o sferiche, attraverso le [[armoniche sferiche]], sia in coordinate cartesiane mediante lo sviluppo in [[serie di Taylor]].
 
In generale, ilIl potenziale generato da una distribuzione di carica si può pertanto pensare come scomposto nella somma di potenziali dovuti a semplici distribuzioni di carica simmetriche, i cui contributi si fanno via via meno importanti (il termine di sestupolo decresce come ''r<sup>-4</sup>'', quello di ottupolo come ''r<sup>-5</sup>'' e così via). Essoed assume, inla definitiva, laseguente forma:▼
Lo sviluppo in serie di multipoli prende la forma:
:<math>V(\mathbf r)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q^{(1)}}{| \mathbf r|} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q^{(2)}}{| \mathbf r|^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{1}{2} \frac{Q^{(4)}}{|\mathbf r|^3} + ...</math>▼
 
▲:<math>V(r)=\mathbfsum_{h=0}^{\infty} rV^{(h)}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q^{(1)}}{| \mathbf r|} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q^{(2)}}{| \mathbf r|^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{1}{2} \frac{Q^{(4)}}{|\mathbf r|^3} + ...</math>
dove '''r''' è il vettore che identifica la posizione in cui si calcola il potenziale e ''Q<sup>(1)</sup>'', ''Q<sup>(2)</sup>'', ''Q<sup>(4)</sup>'' e i seguenti ''Q<sup>(k)</sup>'' sono dei coefficienti che dipendono dalla geometria del sistema di cariche, dal versore <math>\hat {\mathbf r} =\mathbf r/|\mathbf r|</math> e dal [[sistema di riferimento]] scelto; fa eccezione solo ''Q<sup>(1)</sup>'' che dipende unicamente dalla carica totale del sistema.▼
 
▲dove '''<math>\mathbf r'''</math> è il vettore che identifica la posizione in cui si calcola il potenziale e ''Q<supmath>Q^{(1)</sup>''}, ''Q<sup>^{(2)</sup>''}, ''Q<sup>(4)</sup>''\dots e i seguenti, ''Q<sup>^{(k)}</supmath>'' sono dei coefficienti che dipendono dalla geometria del sistema di cariche, e dal versore <math>\hat {\mathbf r} =\mathbf r/|\mathbf r|</math>. eInoltre, dalad [[sistemaeccezione didel riferimento]]termine scelto;di famonopolo eccezione solo ''Q<supmath>Q^{(1)}</supmath>'' che dipendeè determinato unicamente dalla carica totale del sistema, essi dipendono anche dal [[sistema di riferimento|sistema di coordinate]], e non sono perciò univoci.
 
===Dimostrazione===
Line 89 ⟶ 90:
:<math>V(\mathbf r)=\sum_{k=1}^n \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{q_k}{| \mathbf r - \mathbf r_k |}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \sum_{k=1}^n \frac{q_k}{\sqrt{(x-x_k)^2 + (y-y_k)^2+(z-z_k)^2}}</math>
 
SeDato tuttiche glii vettori '''r<submath>k\mathbf r_k</submath>''' sono piccoli rispetto a '''<math>\mathbf r'''</math>, possiamosi possono sviluppare in serie i vari termini del potenziale intorno a '''r<submath>k</sub>'''\mathbf r_k = \mathbf 0</math>. Lo sviluppo in serie (finoarrestato al secondo ordine) fornisce:
 
:<math>\frac{1}{\sqrt{(x-x_k)^2 + (y-y_k)^2+(z-z_k)^2}}=\frac{1}{|\mathbf r|}+ \frac{\mathbf r \cdot \mathbf r_k}{|\mathbf r|^3}+\frac{1}{2}\frac{3(\mathbf r \cdot \mathbf r_k)^2 - |\mathbf r|^2|\mathbf r_k|^2}{| \mathbf r|^5} + \mathcal{O} (|\mathbf r|^3)</math>
 
===Termine di monopolo===
Concentriamoci suConsiderando ciascun termine separatamente., Ilil potenziale generato dal termine di ordine 0 è semplicemente dato da:
 
:<math>V^{(0)}(\mathbf r)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{\sum_{k=1}^nq_k}{| \mathbf r|}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q^{(1)}}{| \mathbf r|}</math>
 
dove con ''Q<supmath>Q^{(1)}</supmath>'' abbiamosi indicatoindica la somma (algebrica) delle cariche ''q<submath>kq_k</submath>'', ed è chiamato anchetalvolta ''momento di monopolo''. NotiamoSi nota che il termine decresce con la distanza come l'inverso deldella raggiodistanza.
 
===Termine di dipolo===
Line 102 ⟶ 105:
:<math>V^{(1)}(\mathbf r)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{\sum_{k=1}^n q_k \mathbf r \cdot \mathbf r_k}{| \mathbf r|^3}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{\left( \sum_{k=1}^n q_k \mathbf r_k \right) \cdot \mathbf r}{| \mathbf r|^3}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{\mathbf p \cdot \mathbf r}{| \mathbf r|^3}</math>
 
Definendo:
Notiamo che, definendo <math>\mathbf p=\begin{matrix} \left( \sum_{k=1}^n q_k \mathbf r_k \right) \end{matrix}</math> otteniamo un potenziale analogo a quello di un [[dipolo elettrico]]; '''p''' rappresenterà pertanto il [[momento di dipolo]] della distribuzione di carica. È inoltre immediato verificare che il termine di primo ordine decresce con la distanza come l'inverso del quadrato del raggio. Notiamo che è possibile scrivere:▼
 
:<math>\mathbf p=\begin{matrix} \left( \sum_{k=1}^n q_k \mathbf r_k \right) \end{matrix}</math>
 
▲Notiamo che, definendo <math>\mathbf p=\begin{matrix} \left( \sum_{k=1}^n q_k \mathbf r_k \right) \end{matrix}</math>si otteniamoottiene un potenziale analogo a quello di un [[dipolo elettrico]];. Il vettore <math>\mathbf '''p'''</math> rappresenteràrappresenta pertanto il [[momento di dipolo]] della distribuzione di carica., È inoltre immediato verificare cheed il termine di primo ordine decresce con la distanza come l'inverso del quadrato del raggio. Notiamo che è possibile scrivereponendo:
 
ponendo semplicemente :<math>Q^{(2)}=\mathbf p \cdot \hat {\mathbf r}</math>▼
 
è possibile scrivere:
 
:<math>\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{\mathbf p \cdot {\mathbf r}}{| \mathbf r|^3}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q^{(2)}}{| \mathbf r|^2}</math>
▲ponendo semplicemente <math>Q^{(2)}=\mathbf p \cdot \hat {\mathbf r}</math>
 
===Termine di quadrupolo===
[[Immagine:QuadrupoleContour.jpg|200px|right|thumb|Potenziale generato da un quadripolo elettrico.]]
Il termine di secondo ordine è:
 
:<math>V^{(2)} (\mathbf r)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\sum_{k=1}^{n}q_k\frac{3(\mathbf r \cdot \mathbf r_k)^2 - |\mathbf r|^2|\mathbf r_k|^2}{2| \mathbf r|^5}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\sum_{k=1}^{n}q_k\frac{3(\hat{\mathbf r} \cdot \mathbf r_k)^2 - |\mathbf r_k|^2}{2| \mathbf r|^3}</math>
 
Esso è formalmente identico al potenziale generato da una distribuzione di quattro cariche equidistanti, dotate a due a due di cariche opposte:. questaTale distribuzione è detta [[momento di quadrupolo|quadrupolo fondamentale]]. Introduciamo ilIl ''tensore di momento quadripolo'' '''<math>Q'''</math> le cuiha componenti ''Q<submath>Q_{ij}</submath>'' sonodate da:
 
:<math>Q_{ij}=\sum_{A=1}^{N} q_{A}(3x_i x_j-r^2\delta_{ij})</math>
 
Il tensore di momento di quadrupolo è una [[forma quadratica]] definita positiva;, ed il momento di quadripolo della distribuzione di carica è dato da:
 
:<math>Q^{(4)}= \hat {\mathbf r}^T \mathbf Q \hat {\mathbf r}= \sum_{ij} Q_{ij}n^i n^j</math>
dove ''n<sup>i</sup>'' e ''n<sup>j</sup>'' sono le componenti del versore <math>\hat{\mathbf r}</math>. Utilizzando tale tensore il potenziale di quadripolo assume la forma:▼
:<math>V^{(2)}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{ \sum_{ij} Q_{ij}n^i n^j}{2|\mathbf r|^3}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q^{(4)}}{2|\mathbf r|^3}</math>
Notiamo come il potenziale di quadrupolo decresca come la terza potenza dell'inverso di ''r''.▼
 
▲dove ''n<supmath>n^i</supmath>'' e ''n<supmath>n^j</supmath>'' sono le componenti del versore <math>\hat{\mathbf r}</math>. Utilizzando tale tensore il potenziale di quadripolo assume la forma:
▲In generale, il potenziale generato da una distribuzione di carica si può pensare come scomposto nella somma di potenziali dovuti a semplici distribuzioni di carica simmetriche, i cui contributi si fanno via via meno importanti (il termine di sestupolo decresce come ''r<sup>-4</sup>'', quello di ottupolo come ''r<sup>-5</sup>'' e così via). Esso assume, in definitiva, la forma:
 
:<math>V^{(r2)=}(\sum_mathbf{h=0r}^{\infty} V^{(h)}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^{(1)}}{| \mathbf r|sum_{ij} + \fracQ_{1ij}{4n^i \pi \varepsilon_0n^j}\frac{Q^{(2)}}{| \mathbf r|^23} + =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{1}{2} \frac{Q^{(4)}}{2|\mathbf r|^3} + ...</math>
 
▲Notiamo come ilIl potenziale di quadrupolo decrescadecresce come la terza potenza dell'inverso di ''<math>r''</math>.
È importante notare che tutti i termini ''Q<sup>(k)</sup>'', ad eccezione del termine di monopolo, dipendono dal sistema di coordinate scelto e non sono perciò univocamente determinati.
 
===Distribuzioni continue===
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Sviluppo_in_multipoli"