Sviluppo in multipoli: differenze tra le versioni
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:<math>Q^{(1)}=\int \rho(x',y',z') \mbox {d} V'</math>
al secondo ordine hanno l'espressione:
:<math>Q^{(2)}=\int \rho(x',y',z') \mathbf r' \cdot \hat {\mathbf r} \mbox{d} V' = \mathbf p \cdot \hat {\mathbf r} </math>
mentre il quadrupolo è caratterizzato da:
:<math>Q^{(4)}=\int \rho(x',y',z')\left[3(\hat {\mathbf r} \cdot {\mathbf r}')^2 - |\mathbf r'|^2\right]\operatorname dV'</math>
==Potenziale generato da una distribuzione di carica elettrica oscillante==
Si consideri una sorgente costituita da una distribuzione di carica che varia nel tempo. Si assume che le sorgenti del [[interazione elettromagnetica|campo elettromagnetico]] siano funzioni periodiche, ed in particolare che le espressioni di densità di carica e corrente abbiano la forma:
:<math>\rho(\mathbf x,t) = \rho(\mathbf x)e^{-i\omega t} \qquad \mathbf J (\mathbf x,t) = \mathbf J(\mathbf x)e^{-i\omega t} </math>
dove le corrispondenti quantità fisiche sono descritte dalla parte reale delle espressioni. Supponendo che i campi abbiano la medesima dipendenza temporale, il [[potenziale magnetico|potenziale]] <math>\mathbf A (\mathbf x)</math> ha la forma:
:<math>\mathbf A (\mathbf x) = \frac {\mu_0}{4\pi} \int \frac {\mathbf J(\mathbf x')e^{-ik|\mathbf x - \mathbf x'|}}{|\mathbf x - \mathbf x'|} d^3 x' \qquad k = \frac {\omega}{c}</math>
ed i campi sono:
:<math>\mathbf H = \frac {1}{\mu_0} \nabla \times \mathbf A \qquad \mathbf E = \frac {iZ_0}{k} \nabla \times \mathbf H</math>
dove <math>Z_0 = \sqrt {\mu_0 \over \varepsilon_0}</math> è l'[[impedenza]] del vuoto.
In una regione sufficientemente lontana dalle sorgenti, in cui <math>kr</math> è molto maggiore dell'unità, si può approssimare <math>|\mathbf x - \mathbf x'| </math> con <math>r - \mathbf n \cdot \mathbf x'</math>, ottenendo:
:<math>\lim_{kr \to \infty} \mathbf A (\mathbf x) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{e^{-ik r}}{r} \int \mathbf J(\mathbf x')e^{-ik \mathbf n \cdot \mathbf x'} d^3 x' </math>
Espandendo l'[[funzione esponenziale|esponenziale]] nell'integrando in potenze di k si ottiene l'espansione in multipoli nel caso di sorgenti oscillanti e lontano da esse:
:<math>\lim_{kr \to \infty} \mathbf A (\mathbf x) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{e^{-ik r}}{r} \sum_n \frac{(-ik)^n}{n!} \int \mathbf J(\mathbf x')(\mathbf n \cdot \mathbf x') d^3 x' </math>
==Onde gravitazionali==
| |||