Sviluppo in multipoli: differenze tra le versioni
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:<math>Q^{(4)}=\int \rho(x',y',z')\left[3(\hat {\mathbf r} \cdot {\mathbf r}')^2 - |\mathbf r'|^2\right]\operatorname dV'</math>
==Potenziale generato da una distribuzione di carica
Si consideri una sorgente costituita da una distribuzione di carica e [[corrente elettrica|corrente]] che varia nel tempo. Si assume che le sorgenti del [[interazione elettromagnetica|campo elettromagnetico]] siano funzioni periodiche, ed in particolare che le espressioni di densità di carica e corrente abbiano la forma:
:<math>\rho(\mathbf x,t) = \rho(\mathbf x)e^{-i\omega t} \qquad \mathbf J (\mathbf x,t) = \mathbf J(\mathbf x)e^{-i\omega t} </math>
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:<math>\lim_{kr \to \infty} \mathbf A (\mathbf x) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{e^{-ik r}}{r} \int \mathbf J(\mathbf x')e^{-ik \mathbf n \cdot \mathbf x'} d^3 x' </math>
Espandendo l'[[funzione esponenziale|esponenziale]] nell'integrando in potenze di <math>k</math> si ottiene l'espansione in multipoli nel caso di sorgenti oscillanti
:<math>\lim_{kr \to \infty} \mathbf A (\mathbf x) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{e^{-ik r}}{r} \sum_n \frac{(-ik)^n}{n!} \int \mathbf J(\mathbf x')(\mathbf n \cdot \mathbf x') d^3 x' </math>
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