Teorema integrale di Cauchy: differenze tra le versioni

una [[funzione olomorfa]] definita su un dominio <math> A </math> [[semplicemente connesso]]. Se <math>\partial S_1gamma_1,\partial S_2gamma_2</math> sono due [[curva regolare|curve regolari]] a tratti in <math>A</math> che congiungono due punti <math>P</math> e <math>Q</math>, allora:

:<math>\int_{\partial S_1gamma_1} f(z) \ dz = \int_{\partial S_2gamma_2}f(z) \ dz</math>

Sia <math>\partial Sgamma </math> la curva chiusa ottenuta concatenando <math>\partial S_1gamma_1 </math> e <math>\partial S_2gamma_2 </math>, quest'ultima percorsa in senso inverso. Per il Teorema di Cauchy:

:<math>\oint_{\partial Sgamma} f(z) \ dz = \left(\int_{\partial S_1gamma_1} - \int_{\partial S_2gamma_2} \right) f(z) \ dz = 0</math>

:<math>\int_{\partial S_1gamma_1} f(z)\ dz = \int_{\partial S_2gamma_2} f(z)\ dz. </math>

Prendendo come <math>\delta_{z+h} </math> il concatenamento di una <math>\delta_z</math> qualsiasi e di una piccola curva <math>\partial S_hgamma_h</math> che congiunge <math>z</math> e <math>z+h</math>, ciò è equivalente a

:<math> \lim_{h\to 0} \frac 1h\int_{\partial S_hgamma_h}f(\zeta)d\zeta = f(z). </math>