Teorema integrale di Cauchy

Il teorema integrale di Cauchy è un teorema di analisi complessa.

EnunciatoModifica

Il teorema integrale di Cauchy afferma che data una funzione olomorfa  , definita su un dominio   semplicemente connesso, per ogni curva chiusa e regolare a tratti

 

vale l'equazione

 

DimostrazioneModifica

Sappiamo dalla teoria dell'integrazione complessa che l'integrale di   è dato da:

 

e sfruttando la formula di Gauss - Green si ottiene:

 

dove   è la regione interna a  . Infatti poiché   è olomorfa, valgono le equazioni di Cauchy-Riemann:

 

che annullano gli integrandi, da cui la tesi.

In termini di forme differenziali si può anche dire che la forma differenziale:

 

è una forma differenziale chiusa se valgono le condizioni di Cauchy-Riemann ed esatta se il dominio è semplicemente connesso.

Il teorema continua a valere per domini in cui la curva   sia il contorno del dominio semplicemente connesso. Inoltre se il dominio non è semplicemente connesso (si veda generalizzazione sotto) ma è costituito da curve regolari a tratti il teorema continua a valere ma bisogna dare un'orientazione al verso di percorrenza, per convenzione il dominio deve rimanere sempre a sinistra mentre si percorrono le curve.

Questa dimostrazione, che fa uso della formula di Gauss-Green, richiede la continuità delle derivate parziali prime. Di seguito vediamo la dimostrazione di Edouard Goursat, che non necessita l'ipotesi della continuità delle derivate prime. Per questo motivo il teorema di Cauchy viene detto anche teorema di Cauchy-Goursat.

Dimostrazione di GoursatModifica

 
Percorso per la dimostrazione di Goursat del teorema di Cauchy

La dimostrazione si divide in due parti: nella prima si dimostra il teorema nell'ipotesi che la curva   sia una poligonale, nella seconda si usa il risultato della prima per dimostrare il teorema per una generica curva regolare a tratti.

Parte 1: curva poligonaleModifica

Dapprima notiamo che una poligonale si può sempre decomporre in triangoli e dato che essendo i percorsi sempre in senso antiorario gli integrali sui lati in comune tra due triangoli (cioè quelli interni alla poligonale) si elidono, allora la tesi della prima parte è equivalente al fatto che per ogni triangolo   si ha

 

Consideriamo allora un generico triangolo   e sia

 .

Costruiamo quattro sottotriangoli   unendo i punti medi di  . Per costruzione le lunghezze dei perimetri valgono tutte   dove   è la lunghezza del perimetro del triangolo iniziale. Inoltre dato che (come detto prima) gli integrali sui lati in comune si elidono:

 

Quindi

 ,

e poniamo allora  . Procediamo analogamente su   costruendo un triangolo   tale che   e

 

Iterando costruiamo una successione di triangoli   tali che   e inoltre

 .

Essendo le chiusure dei triangoli insiemi compatti la loro intersezione non è vuota.[1]

Cioè esiste un punto   . Ora la derivabilità in   implica che

 

e cioè

 .

Ora è chiaro che è possibile scegliere   abbastanza grande così che  . Infatti è sufficiente scegliere   tale che  . Allora dato che è facile mostrare che l'integrale di ogni costante o di ogni funzione lineare su una linea chiusa è zero vale

 

Da cui segue che

 

ma allora   e dall'arbitrarietà di   segue  , cioè   che è la tesi della prima parte.

Parte 2: curva genericaModifica

Ora si consideri una generica curva  . Dato   si consideri l'insieme  , che essendo compatto fornisce la possibilità di restringere   a   essendo su di esso uniformemente continua. Cioè

 

se  .

Siano allora

 

dove   è la lunghezza dell'arco congiungente   e  , e sia   il segmento congiungente   e  .

Allora   è una poligonale contenuta in  . Infatti

 

ma allora se   vale   per l'uniforme continuità .

Denotiamo ora con   l'arco di   sotteso da  . Ora notando che essendo   una costante vale

 

e dal fatto che l'integrale sulla poligonale è nullo per il punto precedente vale la seguente catena di disuguaglianze:

 

La tesi segue dunque dall'arbitrarietà di  .

CorollariModifica

Curve con gli stessi estremiModifica

Sia   una funzione olomorfa definita su un dominio   semplicemente connesso. Se   sono due curve regolari a tratti in   che congiungono due punti   e  , allora:

 

In altre parole, l'integrale su una curva dipende solo dagli estremi.

DimostrazioneModifica

Sia   la curva chiusa ottenuta concatenando   e  , quest'ultima percorsa in senso inverso. Per il teorema di Cauchy:

 

ovvero

 

Esistenza di una primitivaModifica

Ogni funzione olomorfa

 

definita su un aperto semplicemente connesso   ammette una primitiva  . Esiste cioè una funzione olomorfa

 

tale che   per ogni   in  .

DimostrazioneModifica

La funzione   è definita nel modo seguente. Si fissa un punto   di   e si pone

 

per una qualsiasi curva regolare   in   che collega   a  . Per il risultato precedente   non dipende dall'arco   ed è quindi ben definita.

La funzione   è effettivamente olomorfa e la sua derivata è proprio  . Ciò può essere verificato nel modo seguente:

 

Prendendo come   il concatenamento di una   qualsiasi e di una piccola curva   che congiunge   e  , ciò è equivalente a

 

Generalizzazione del teorema di CauchyModifica

 
Dominio multiplamente connesso per la generalizzazione del teorema integrale di Cauchy

Il teorema integrale di Cauchy può essere generalizzato anche a domini a connessione multipla: data   analitica in un dominio   (in azzurro) qualsiasi con all'interno (in rosso in figura) zone non appartenenti a tale dominio. Tracciamo una curva orientata   interna ad   ma che contiene tutte le zone disconnesse   (in viola) e intorno a queste tracciamo delle curve   unite alla curva   da  . Tutte le curve sono percorse in modo da lasciare a sinistra il dominio (in viola). Allora:

 

Poiché le curve   vengono percorse nei due sensi si annullano, mentre le curve   vengono percorse in senso inverso a  . Quindi:

 

cioè:

 

In questo modo può essere generalizzato il teorema integrale di Cauchy su domini a connessione multipla.

NoteModifica

  1. ^ (EN) Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, 1976.

BibliografiaModifica

  • (EN) Arfken, G. "Cauchy's Integral Theorem." §6.3 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 365-371, 1985.
  • (EN) Kaplan, W. "Integrals of Analytic Functions. Cauchy Integral Theorem." §9.8 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 594-598, 1991.
  • (EN) Knopp, K. "Cauchy's Integral Theorem." Ch. 4 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 47-60, 1996.
  • (EN) Krantz, S. G. "The Cauchy Integral Theorem and Formula." §2.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 26-29, 1999.
  • (EN) Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 363-367, 1953.
  • (EN) Woods, F. S. "Integral of a Complex Function." §145 in Advanced Calculus: A Course Arranged with Special Reference to the Needs of Students of Applied Mathematics. Boston, MA: Ginn, pp. 351-352, 1926.
  • Bernardini, Ragnisco, Santini " Metodi matematici della fisica, Carocci editore" pp 84-88, 2002.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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