Teorema di Brothers-Ziemer: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
m ortografia |
È |
||
Riga 21:
[[File:Copy_of_Esempio_di_riarrangiamento.png|thumb|right|150px|Funzione non simmetrica e sua riarrangiata con la stessa norma <math>W^{1,p}</math>]]
Il teorema di Brothers e Ziemer risulta un completamento della [[disuguaglianza di Polya-Szego]]. Esso afferma che il riordinamento radiale di una funzione ha norma <math>W^{1,p}</math> minore o al più uguale della funzione stessa. In pratica se si vuole minimizzare la norma in <math>W^{1,p}</math> è possibile cercare tale minimo tra le funzioni a simmetria radiale, avendo il riordinamento tale proprietà. Non è detto però che non esistano funzioni che non hanno simmetria radiale che minimizzano tale norma.
In figura è presentata una funzione non simmetrica ed il suo riordinamento radiale.
Il teorema di Brothers e Ziemer, con l'ulterire ipotesi che l'insieme in cui il gradiente è nullo abbia misura nulla, permette di concludere che le funzioni che minimizzano la norma <math>W^{1,p}</math> sono tutte e sole quelle a simmetria radiale.
Il teorema di Brothers e Ziemer risulta particolarmente comodo per stabilire il valore delle [[disuguaglianze di Sobolev|costanti ottimali]] nelle disuguaglianze di Sobolev.
| |||