Derivata direzionale: differenze tra le versioni

Da questa proprietà segue che:

 

* La derivata direzionale è nulla se <math>\theta = \frac{\pi}{2} \ \mbox{o}\, \frac{3 \pi}{2}</math>, e quindi il gradiente e <math>\mathbf{v}</math> sono perpendicolari.

* La derivata direzionale assume il valore minimo se <math>\theta = \pi\;</math>, e quindi il gradiente e <math>\mathbf{v}</math> sono paralleli e discordi.

La derivata direzionale indica intuitivamente la velocità di cambiamento della funzione rispetto alla direzione data. Essa permette di spiegare, ad esempio, la traiettoria dei ruscelli nelle montagne: il gradiente è perpendicolare al vettore spostamento lungo una [[insieme di livello|curva di livello]], la quale descrive [[topografia|topograficamente]] il luogo dei punti con la stessa [[altitudine]]. I ruscelli seguono pertanto la traiettoria di massima pendenza, che è quella perpendicolare alle curve stesse.

 

 

:<math>D_{\mathbf{e}_i} f(x)= \lim_{t \to 0} \frac{f(x + t \mathbf{e}_i) - f(x)}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{f(x + t (0,\ldots,1,\ldots,0)) - f(x)}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0,\ldots,x_i +t,\ldots,x_n) - f(x)}{t}</math>