Metodo della bisezione: differenze tra le versioni

Data l'equazione <math>\,f(x)=0\,</math> definita e continua in un intervallo <math>\,[a,b]\,</math>, tale che <math>\,f(a)\cdot f(b)<0\,</math>, è allora possibile calcolarne un'approssimazione in <math>\,[a,b]\,</math> (vedi [[Teorema di Bolzano|teorema degli zeri]]).

Si procede dividendo l'intervallo in due parti eguali e calcolando il valore della funzione nel punto medio di ascissa <math>\,\frac{a+b}{2}\,</math>. Se risulta <math>f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0</math> allora <math>\frac{a+b}{2}</math> è la radice cercata; altrimenti tra i due intervalli <math>\left[a,\frac{a+b}{2}\right]</math> e <math>\left[\frac{a+b}{2},b\right]</math> si sceglie quello ai cui estremi la funzione assume valori di segno opposto.

Si ripete per questo intervallo il procedimento di dimezzamento e, così continuando si ottiene, potenzialmente, una successione di intervalli ''incapsulati'', cioè ognuno incluso nel precedente, <math>\,[a_1,b_1],[a_2,b_2],...,[a_n,b_n], ...\,</math>; questi hanno come ampiezze <math>b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}</math> per <math>\,n=1, 2, 3, ...</math>.

Come approssimazione della radice <math>\,\alpha\,</math> si considera il punto medio degli intervalli,

L'algoritmo viene arrestato quando <math>\,f(c_{i})\,</math> è abbastanza vicino a 0 e/o quando l'ampiezza dell'intervallo <math>\,[a_{i},b_{i}]\,</math> è inferiore ad una certa tolleranza <math>\,\varepsilon\,</math>.

Dunque come stima di <math>\,\alpha\,</math> alla fine avremo un certo <math>\,c_{n}\,</math>; si prova facilmente che per l'errore commesso vale