Equazioni di Hamilton: differenze tra le versioni

:<math>\mathcal{\mathcal H} = \sum_i {\dot q_i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}}- \mathcal{L} = \sum_i {\dot q_i} p_i - \mathcal{L}</math>

Si consideri il differenziale di una funzione <math>\mathcal H(q,p,t)</math>, dipendente da <math>q</math> e <math>p</math>:

:<math>\mathrm dHd\mathcal H=\frac{\partial \mathcal H}{\partial q}\mathrm dq+\frac{\partial \mathcal H}{\partial p}\mathrm dp+\frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\mathrm dt</math>

:<math>\mathcal H(q,p,t)=\dot q(t)p(t)-\mathcal{L}(q,\dot q(q,p,t),t)</math>

si ottengono le equazioni di \mathcal Hamilton:

:<math> \dot{q} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial p}</math>

:<math> \dot{p} = - \frac{\partial \mathcal H}{\partial q}</math>

Se una coordinata è [[Coordinata ciclica|ciclica]] per la Lagrangiana, allora essa è ciclica anche per l'\mathcal Hamiltoniana, mentre se il sistema è isolato (l'\mathcal Hamiltoniana non dipende esplicitamente dal tempo, e quindi se <math>L</math> non dipende esplicitamente dal tempo) allora <math>\mathcal H</math> stessa è una costante del moto. Si deve notare che in tale procedura <math>\mathcal H</math> non rappresenta necessariamente l'energia del sistema.

==Equazioni di \mathcal Hamilton e principio variazionale==

{{Vedi anche|Principio variazionale di \mathcal Hamilton}}

Anche le equazioni di \mathcal Hamilton si possono ricavare da un principio variazionale. In tal caso il [[principio variazionale di \mathcal Hamilton]] si scrive:

:<math>\delta I = \delta \int_{t_1}^{t_2} \left(\sum_{i=1}^{n} \dot q_i \, p_i - \mathcal H(q,p,t) \right) \, dt = 0</math>

definito nello [[spazio delle fasi]]. Il principio ci dice che il punto rappresentativo del moto nello spazio delle fasi tra <math>t_1, t_2</math> deve soddisfare il principio di \mathcal Hamilton annullando l'integrale variazionale mantenendo costante il tempo tra <math>t_1</math> e <math>t_2</math>, in pratica significa che l'integrale ha un estremo in corrispondenza di tutte le traiettorie tra i due tempi.