Equazioni di Hamilton

equazione del moto per un sistema fisico, scritta a partire da una funzione chiamata hamiltoniana

Le equazioni di Hamilton, nella fisica e in particolare nella riformulazione della meccanica classica sviluppata dalla meccanica hamiltoniana, sono l'equazione del moto per un sistema fisico, scritta a partire da una funzione chiamata hamiltoniana. Determinano l'evoluzione temporale del sistema dinamico in modo equivalente alla legge di Newton e alle equazioni di Eulero-Lagrange, di cui sono una riscrittura ottenuta in seguito ad un particolare cambio di variabili.

Le equazioniModifica

L'hamiltoniana   di un sistema dinamico è una funzione definita nello spazio delle fasi   composto dalle coordinate generalizzate   e dai rispettivi momenti coniugati:

 

dove   è la lagrangiana. L'hamiltoniana viene solitamente associata all'energia totale del sistema, somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale. In alcuni casi, per esempio quando agiscono forze non conservative, è necessario fare uso dei cosiddetti potenziali generalizzati e l'hamiltoniana perde il significato fisico di energia totale del sistema.

Le equazioni di Hamilton sono un sistema di equazioni differenziali che forniscono l'evoluzione temporale del sistema:[1][2]

 

ovvero:

 
 

Le equazioni di Hamilton sono simmetriche rispetto a   e  , e pertanto scambiare   con   e   con   le lascia invariate.

DerivazioneModifica

Dato un sistema che ha n gradi di libertà descritto da una lagrangiana  , l'equazione di Newton per il suo moto è equivalente alle equazioni di Eulero-Lagrange:

 

Si può formulare lo stesso problema prendendo come variabili indipendenti le coordinate generalizzate   ed i momenti generalizzati  , definiti da  . In tale contesto, la trasformata di Legendre della Lagrangiana produce la funzione hamiltoniana:

 

In una dimensione la trasformata si ottiene scrivendo il differenziale di  :

 

da cui:

 

La lagrangiana viene così trasformata in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a  , cioè da  .

Dato il differenziale di  :

 

confrontandolo con la precedente espressione della trasformata di Legendre:

 

si ottengono le equazioni di Hamilton:

 

Se una coordinata è una coordinata ciclica per la lagrangiana, ovvero è una coordinata da cui la lagrangiana non dipende direttamente, allora essa è ciclica anche per l'Hamiltoniana. In particolare se lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo allora   stessa è una costante del moto:

 

Principio variazionale di HamiltonModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Principio variazionale di Hamilton.

Le equazioni di Hamilton si possono ricavare dal principio variazionale di Hamilton (principio di minima azione):

 

dove l'integrale della lagrangiana nel tempo è l'azione:

 

Il principio stabilisce che il moto del sistema tra gli istanti iniziale   e finale   deve rendere stazionario l'integrale variazionale azione tra   e  , il che significa che l'azione ha un estremo in corrispondenza della traiettoria seguita dal sistema, tra tutte quelle possibili nell'intervallo di tempo considerato.

NoteModifica

  1. ^ Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
  2. ^ The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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