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Momento magnetico: differenze tra le versioni

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Prima del 1930 nei testi si definiva il momento magnetico utilizzando il concetto di "polo magnetico", in analogia con l'[[elettrostatica]]. Successivamente si è preferito considere una spira percorsa da [[corrente elettrica]]: nel limite in cui le sue dimensioni diminuiscono mantendendo costante il prodotto tra corrente ed area si ottiene il modello per il [[dipolo magnetico]].
 
Nel primo modello si può pensare ad un magnete come due poli magnetici di "carica magnetica" <math>p</math> aventi [[polarità]] opposta e separati da una certa distanza <math>\boldsymbol\ell</math>. Il momento magnetico <math>\underlinemathbf m</math> che si genera è direttamente proporzionale alla carica e alla distanza che separa le cariche.
 
: <math>\underlinemathbf{m}=p\boldsymbol{\ell}</math>
 
Il verso della sua direzione punta inoltre dal polo sud al polo nord.
 
Nel secondo modello, che utilizza una spira di [[vettore area|area]] <math>\underlinemathbf S</math> percorsa da corrente <math>I</math>, si definisce il momento magnetico come il prodotto tra area e corrente nel seguente modo:
 
: <math>\underlinemathbf{m}=I \underlinemathbf{S}</math>
 
e la direzione del vettore area segue la [[regola della mano destra]].<ref name=Feynman>{{Cite book
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}}</ref> Per una spira qualsiasi il momento è dato da:
 
:<math>\underlinemathbf{m}=I\oint d \underlinemathbf{S}</math>
 
e se la spira non giace su un piano:
 
:<math>\underlinemathbf{m}=\frac{I}{2}\int\underlinemathbf{r}\times{\rm d}\underlinemathbf{r}</math>
 
dove <math>\times</math> è il [[prodotto vettoriale]] e <math>\underlinemathbf{r}</math> la posizione.
 
Nel caso più generale, il momento di una distribuzione spaziale arbitraria di corrente è dato dall'equazione:
 
: <math>\underlinemathbf{m}=\frac{1}{2}\int\underlinemathbf{r}\times\underlinemathbf{J}_E\,{\rm d}V,</math>
 
dove <math>\underlinemathbf{J}_E</math> è la [[densità di corrente]] relativa all'elemento di volume nel punto <math>\underlinemathbf{r}</math>. Se si considera invece un insieme di cariche che si muovono, il momento è dato dalla precedente relazione sostituendo:
 
: <math>\underlinemathbf{J}_E=\rho \underlinemathbf{v}</math>
 
con <math>\rho</math> la [[densità di carica]] e <math>\underlinemathbf{v}</math> la [[velocità]].
 
Per un [[solenoide]], infine, il momento è fornito dalla somma vettoriale dei singoli momenti relativi ad ogni spira che lo compone. Se il solenoide possiede ''N'' spire di area <math>\underlinemathbf{S}</math>, si ha:
 
: <math>\underlinemathbf{m}=N I \underlinemathbf{S}</math>
 
=== Unità di misura ===
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[[File:Momento torcente magnetico.svg|thumb|250px|Rappresentazione vettoriale della coppia magnetica su un dipolo. La coppia dipolare magnetica è data da un vettore uscente dal piano del disegno e ortogonale ad esso, qui è generata dalle forze F e -F, che giacciono sul piano del disegno.]]
== Interazione tra campo magnetico e momento magnetico ==
L'[[energia potenziale]] associata ad un momento magnetico <math>\underlinemathbf m</math> in un campo magnetico esterno <math>\underlinemathbf B</math> è data da:
 
: <math>U=-\underlinemathbf{m}\cdot\underlinemathbf{B} </math>
 
Se il campo magnetico esterno non è uniforme si manifesta una forza agente sul momento magnetico che è proporzionale al [[gradiente]] spaziale del campo. Esistono due espressioni per la forza agente sul dipolo, che sono relative ai due possibili modelli utilizzati.<ref>{{cite journal
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</ref> Se si considera il modello che utilizza una spira percorsa da corrente la forza è data da:
 
:<math Floop>\underlinemathbf{F}_\text{loop}=\nabla \left(\underlinemathbf{m}\cdot\underlinemathbf{B}\right) </math>
 
mentre nel modello a dipolo:
 
:<math>\underlinemathbf{F}_\text{dipole}=\left(\underlinemathbf{m}\cdot \nabla \right) \underlinemathbf{B}</math>
 
e l'una può essere espressa in termini dell'altra mediante la relazione:
 
:<math Feq>\underlinemathbf{F}_\text{loop}=\underlinemathbf{F}_\text{dipole} + \underlinemathbf{m}\times \left(\nabla \times \underlinemathbf{B} \right)</math>
 
In assenza di correnti o campi elettrici variabili nel tempo <math>\nabla \times \underlinemathbf B = 0</math> e le due espressioni coincidono.
 
Il momento magnetico può essere definito anche in termini del momento torcente <math>\boldsymbol{\tau}</math> che si genera in presenza di un campo magnetico esterno:<ref name=Graham>{{cite book |title=Introduction to Magnetic Materials |author=B. D. Cullity, C. D. Graham |url=http://books.google.com/?id=ixAe4qIGEmwC&pg=PA103 |page=103 |isbn=0-471-47741-9 |year=2008 |publisher=[[Wiley-IEEE Press]]|edition=2}}</ref>
 
: <math> \boldsymbol{\tau} = \underlinemathbf{m} \times\underlinemathbf{B}</math>
 
== Campo magnetico generato da un dipolo ==
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In fisica classica il campo magnetico generato da un dipolo è calcolato considerando una spira percorsa da [[corrente elettrica]]. Nel limite in cui le sue dimensioni diminuiscono mantendendo costante il prodotto tra corrente ed area si ottiene il modello per il dipolo magnetico. Il [[potenziale magnetico]] della spira è dato dall'espressione:
 
:<math>\underlinemathbf A = \frac {\mu_0}{4 \pi} \frac {\underlinemathbf m \times \underlinemathbf r}{r^3}</math>
 
dove <math>\underlinemathbf m</math> è il [[Momento magnetico|momento di dipolo magnetico]] e <math>\mu_0</math> è la [[permeabilità magnetica]] del vuoto.
 
L'intensità del [[campo magnetico]] <math>\underlinemathbf B</math> è data da:
 
: <math>\underlinemathbf{B}({\underlinemathbf{r}})=\nabla\times{\underlinemathbf{A}}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\left(\frac{3\underlinemathbf{r}(\underlinemathbf{m}\cdot\underlinemathbf{r})}{r^{5}}-\frac{{\underlinemathbf{m}}}{r^{3}}\right)</math>
 
Se si considera come modello di dipolo due cariche magnetiche opposte nel limite in cui la loro distanza e la loro carica diminuiscono in modo tale da mantenere il loro prodotto costante, in analogia con il [[dipolo elettrico]], si ottiene il [[potenziale magnetico|potenziale magnetico scalare]]:
 
:<math>\psi({\underlinemathbf{r}})=\frac{{\underlinemathbf{m}}\cdot{\underlinemathbf{r}}}{4\pi r^{3}}</math>
 
da cui si ha che l'intensità di <math>\underlinemathbf H</math> è:
 
:<math>{\underlinemathbf{H}}({\underlinemathbf{r}})=-\nabla\psi=\frac{1}{4\pi}\left(\frac{3\underlinemathbf{r}(\underlinemathbf{m}\cdot\underlinemathbf{r})}{r^{5}}-\frac{{\underlinemathbf{m}}}{r^{3}}\right) = \underlinemathbf{B}/\mu_0</math>
 
Il campo generato da un dipolo è modellizzabile con una spira percorsa da corrente soltanto all'esterno della regione di spazio occupata dalla sorgente. Se si vuole studiare il campo interno, supponendo di diminuire l'estensione spaziale della spira si ottiene il campo limite:
 
:<math>\underlinemathbf{B}(\underlinemathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\left[\frac{3\underlinemathbf{n}(\underlinemathbf{n}\cdot \underlinemathbf{m})-\underlinemathbf{m}}{|\underlinemathbf{x}|^3} + \frac{8\pi}{3}\underlinemathbf{m}\delta(\underlinemathbf{x})\right]</math>
 
dove <math>\underlinemathbf n = \underlinemathbf x /|\underlinemathbf x|</math>, e l'espressione è valida all'interno del dipolo.
 
Se si considera il modello di dipolo che utilizza due cariche si ha:
 
:<math>\underlinemathbf{H}(\underlinemathbf{x}) =\frac{1}{4\pi}\left[\frac{3\underlinemathbf{n}(\underlinemathbf{n}\cdot \underlinemathbf{m})-\underlinemathbf{m}}{|\underlinemathbf{x}|^3} - \frac{4\pi}{3}\underlinemathbf{m}\delta(\underlinemathbf{x})\right]</math>
 
I campi così ottenuti sono legati dalla relazione:
 
:<math>\underlinemathbf{B} = \mu_0(\underlinemathbf{H}+ \underlinemathbf{M})</math>
 
dove:
 
:<math>\underlinemathbf{M}(\underlinemathbf{x}) = \underlinemathbf{m}\delta(\underlinemathbf{x})</math>
 
è il vettore di [[Polarizzazione magnetica|magnetizzazione]].
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| doi = 10.1109/TMAG.2003.808597|bibcode = 2003ITM....39..961S }}</ref> Namely,
 
:<math bx>B_{x'}(\underlinemathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4 \pi} m_1 \left(\frac{3\cos^2\theta-1}{r^3}\right)</math>
 
:<math by>B_{y'}(\underlinemathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4 \pi} m_1 \left(\frac{3\cos\theta\sin\theta}{r^3}\right)</math>
 
dove <math>r</math> e <math>\theta</math> sono le coordinate locali rispetto all'origine posta in <math>\underlinemathbf m_1</math> e orientata in modo tale da porre <math>\underlinemathbf m_1</math> lungo l'asse ''x''. In un sistema di coordinate globale si mostra che l'espressione della forza tra due dipoli è:
 
:<math>F_r(\underlinemathbf{r}, \alpha, \beta) = - \frac{3 \mu_0}{4 \pi}\frac{m_2 m_1}{r^4}\left[2\cos(\phi - \alpha)\cos(\phi - \beta)- \sin(\phi - \alpha)\sin(\phi - \beta)\right]</math>
 
:<math>F_{\phi}(\underlinemathbf{r}, \alpha, \beta) =- \frac{3 \mu_0}{4 \pi}\frac{m_2 m_1}{r^4}\sin(2\phi - \alpha - \beta)</math>
 
In notazione vettoriale:<ref>{{cite book
Riga 174:
}}</ref>
 
:<math>\underlinemathbf{F}(\underlinemathbf{r}, \underlinemathbf{m}_1, \underlinemathbf{m}_2) = \dfrac{3 \mu_0}{4 \pi r^5}\left[(\underlinemathbf{m}_1\cdot\underlinemathbf{r})\underlinemathbf{m}_2 + (\underlinemathbf{m}_2\cdot\underlinemathbf{r})\underlinemathbf{m}_1 + (\underlinemathbf{m}_1\cdot\underlinemathbf{m}_2)\underlinemathbf{r} - \dfrac{5(\underlinemathbf{m}_1\cdot\underlinemathbf{r})(\underlinemathbf{m}_2\cdot\underlinemathbf{r})}{r^2}\underlinemathbf{r}\right]
</math>
 
dove <math>\underlinemathbf r</math> è la distanza tra <math>\underlinemathbf m_1</math> e <math>\underlinemathbf m_2</math>, con <math>r = \| \underlinemathbf r \|</math>, mentre <math>\underlinemathbf F</math> è la forza agente su <math>\underlinemathbf m_2</math>, che ha la stessa direzione e verso opposto a quella agente su <math>\underlinemathbf m_1</math>. Il momento torcente si ottiene inoltre con la formula seguente:
 
:<math>\boldsymbol{\tau}=\underlinemathbf{m}_2 \times \underlinemathbf{B}</math>
 
che fornisce:
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Momento_magnetico"