Teorema delle intersezioni dimensionali: differenze tra le versioni
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Il '''Teorema delle intersezioni dimensionali''' determina la [[dimensione]] dello [[Spazio (matematica)|spazio]] risultante dall’intersezione di due spazi di dimensione nota. Si applica a [[Spazio euclideo|spazi euclidei]] di qualsiasi dimensione, comprendendo anche gli spazi di dimensione inferiore alla terza, convenendo che il [[Piano (geometria)|piano]] sia uno spazio a due dimensioni, la [[retta]] sia uno spazio a una dimensione, il [[Punto (geometria)|punto]] sia uno spazio a zero dimensioni.
Il teorema risulta utile nella geometria dalla [[quarta dimensione]] in su, laddove le intersezioni risultano meno intuitive che nelle più consuete geometrie euclidee del piano e dello [[spazio tridimensionale]].
== Enunciato ==
In uno spazio di dimensione <math>n</math>, due spazi di dimensione <math>p</math> e <math>q</math>, non entrambi appartenenti ad uno stesso spazio di dimensione inferiore ad <math>n</math>, si intersecano in uno spazio di dimensione<br /><br />
<math>m = p + q - n</math><br /><br />
<math> con \qquad 0 \le p \le n \qquad 0 \le q \le n \qquad 0 \le m \le n \qquad </math>
== Esempi ==
Ovviamente per la consueta geometria euclidea bidimensionale e tridimensionale il teorema restituisce le note regole di intersezione:<br />
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* In uno spazio 4D una retta ed un piano non si incontrano, infatti 1 + 2 - 4 = -1 (avendo trovato -1 significa che da 4D bisognerà scendere a 3D affinché una retta ed un piano si incontrino in un punto).<br />
* In uno spazio 4D una retta ed uno spazio 3D si incontrano in un punto, infatti 1 + 3 - 4 = 0.
== Oggetti ==
Il teorema vale anche per gli oggetti, cioè per le porzioni di spazio. Ovviamente gli oggetti, occupando solo una porzione di spazio, non sempre si intersecano, bisognerà allora precisare che “se” gli oggetti si intersecano vale il teorema suddetto. <br />
Ad esempio:
In uno spazio 3D una retta 1D interseca un [[cubo]] 3D in un [[segmento]] 1D, infatti: 1 + 3 - 3 = 1
* Se la retta è [[Tangente (geometria)|tangente]] ad una faccia 2D del cubo 3D l’intersezione sarà ancora un segmento 1D, infatti la faccia 2D ed la retta 1D in questo caso sono complanari e lo spazio ambiente da considerare è 2D, quindi: 1 + 2 - 2 = 1 * Se invece la retta è tangente ad uno spigolo 1D del cubo 3D, l’intersezione sarà un punto 0D, infatti lo spigolo 1D ed la retta 1D in questo caso sono complanari e lo spazio ambiente da considerare è 2D, quindi: 1 + 1 - 2 = 0<br />
In uno spazio 4D una retta 1D interseca un cubo 3D in un punto 0D, infatti: 1 + 3 - 4 = 0
== Dimostrazione ==
La dimostrazione del teorema può essere desunta direttamente da considerazioni analitiche.
In uno spazio con <math>n</math> dimensioni, di [[assi cartesiani]] <math>x_1 \; x_2 \; \cdots \; x_n</math> , una [[equazione lineare]] di primo grado del tipo
<math>a_1x_1 + a_2x_2 +\cdots +a_nx_n + a_{n+1} = 0</math> <br /><br />
rappresenta uno spazio di dimensione <math>n-1</math>.
Ogni ulteriore equazione dello stesso tipo, aggiunta alla prima, riduce di uno il numero di dimensioni dell’ente geometrico rappresentato dal sistema dell'insieme delle equazioni.<br />▼
<math>\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n + a_{1(n+1)} = 0\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_1 + \cdots + a_{2n}x_n + a_{2(n+1)} = 0\\ \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \\ a_{g1}x_1 + a_{g2}x_1 + \cdots + a_{gn}x_n + a_{g(n+1)} = 0 \end{cases} </math><br /><br />▼
▲Ogni ulteriore equazione dello stesso tipo, aggiunta alla prima, riduce di uno il numero di dimensioni dell’ente geometrico rappresentato dal sistema dell'insieme delle equazioni.
rappresenta uno spazio di dimensione <math>n-g</math><br /><br />▼
In uno spazio <math>nD</math>, dunque, per due spazi <math>pD</math> e <math>qD</math> sarà:<br /><br />▼
In altre parole, in uno spazio cartesiano euclideo di dimensione <math>n</math>, un sistema di <math>g</math> equazioni del tipo
<math>g_p = n - p</math><br />▼
<math>g_q = n - q</math><br /><br />▼
▲<math>\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n + a_{1(n+1)} = 0\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_1 + \cdots + a_{2n}x_n + a_{2(n+1)} = 0\\ \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \\ a_{g1}x_1 + a_{g2}x_1 + \cdots + a_{gn}x_n + a_{g(n+1)} = 0 \end{cases} </math
▲In uno spazio <math>nD</math>, dunque, per due spazi <math>pD</math> e <math>qD</math> sarà:
Intersecare due spazi significa considerare il sistema delle equazioni che li individuano. Per lo spazio <math>mD</math> risultante dall’intersezione di due spazi <math>pD</math> e <math>qD</math> sarà dunque:<br /><br />
<math>g_m = g_p + g_q = (n - p) + (n - q) = 2n - p - q</math><br /><br />
e quindi:<br /><br />
<math>m = n - g_m = n - (2n - p - q) = p + q - n</math><br /> <br />
che dimostra il teorema.
{{categorizzare|matematica}}
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