Cerchio di Carlyle: differenze tra le versioni
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==Dimostrazione==
===Primo modo===
A destra è riportata le descrizione dei due casi principali, per ''p'' maggiore o minore di zero. In entrambi i casi è semplice verificare che
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da cui risulta evidente che x<sub>1</sub> e x<sub>2</sub> sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado originale; notare che in questa costruzione, ''s'' rappresenta la somma delle soluzioni e ''p'' il prodotto: il cerchio di Carlyle consente quindi di trovare in modo semplice le soluzioni di un'equazione di secondo grado in cui sono noti la somma e il prodotto delle radici.
===Secondo modo===
Un'altra dimostrazione è ricavabile mediante le regole della [[geometria analitica]].
Sia C centro del cerchio di diametro ''A(0,1)'' e ''B(s,q)''. Esso è il punto medio del segmento AB:
:<math> C(\frac{0+s}{2},\frac{1+q}{2})=C(\frac{s}{2},\frac{1+q}{2}) </math>
Il raggio del cerchio è il segmento ''AC'':
:<math> r=\sqrt{(0-\frac{s}{2})^2+(1-\frac{1+q}{2})^2}=\sqrt{\frac{s^2}{4}+\frac{q^2-2q+1}{4}} </math>
Data l'equazione analitica del cerchio:
<math>(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2=r^2 </math>
<math>(x - \frac{s}{2})^2 + (y - \frac{1+q}{2})^2=\frac{s^2}{4}+\frac{q^2-2q+1}{4} </math>
Le intersezioni con l'''asse x'', chiamate x<sub>1</sub> e x<sub>2</sub>, sono le soluzioni del sistema:
:<math>\begin{cases} (x - \frac{s}{2})^2 + (y - \frac{1+q}{2})^2=\frac{s^2}{4}+\frac{q^2-2q+1}{4}\\
asse x\end{cases}</math>
:<math>\begin{cases} (x - \frac{s}{2})^2 + (y - \frac{1+q}{2})^2=\frac{s^2}{4}+\frac{q^2-2q+1}{4}\\
y=0\end{cases}</math>
x<sub>1</sub> e x<sub>2</sub> sono pertanto le soluzioni dell'equazione
<math>(x - \frac{s}{2})^2 + (0 - \frac{1+q}{2})^2=\frac{s^2}{4}+\frac{q^2-2q+1}{4} </math>
<math> x^2 - sx + \frac{s^2}{4} + \frac{(q+1)^2}{4}=\frac{s^2}{4}+\frac{q^2-2q+1}{4} </math>
Da cui:
<math> x^2 - sx + \frac{q}{2} + \frac{q}{2}=0 </math>
<math> x^2 - sx + \frac{q}{2} + q </math>
x<sub>1</sub> e x<sub>2</sub> sono pertanto le soluzioni di questa equazione, come volevasi dimostrare.
==Variante==
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