Cerchio di Carlyle

In matematica, il cerchio di Carlyle è un sistema semplice e ingegnoso per risolvere per via geometrica (con l'uso di soli riga e compasso) un'equazione di secondo grado. Prende il nome da Thomas Carlyle il quale, prima di dedicarsi alla storia e alla filosofia, in gioventù aveva mostrato notevoli doti come matematico.

Enunciato

Data l'equazione

$x^{2}-sx+p=0\,\!$

in cui $s$ e $p$ sono segmenti di lunghezza data (con segno), è sufficiente disegnare su un piano cartesiano i punti $A(0,1)$ e $B(s,p)$. Costruito un cerchio il cui diametro è identificato dai punti $A$ e $B$, se tale cerchio interseca l'asse delle $x$, i punti $x_{1}$ e $x_{2}$ di intersezione sono le soluzioni reali dell'equazione data.

Dimostrazione

Fig. 1: Cerchio di Carlyle per p < 0

Fig. 2: Cerchio di Carlyle per p > 0

Primo modo

A destra è riportata le descrizione dei due casi principali, per $p$ maggiore o minore di zero. In entrambi i casi è semplice verificare che

$s=x_{1}+x_{2}\,\!$

Se $p<0$ (figura 1), per il teorema delle corde abbiamo la seguente equivalenza:

${\overline {Ox_{1}}}\cdot {\overline {Ox_{2}}}={\overline {OA}}\cdot {\overline {OP}}\,\!$

ovvero

$(x_{1})\cdot (-x_{2})=(1)\cdot (-p)\,\!$

Per $p>0$ (figura 2) si può analogamente arrivare al risultato

$(x_{1})\cdot (x_{2})=(1)\cdot (p)\,\!$

Ricapitolando, in entrambi i casi abbiamo:

$s=x_{1}+x_{2}\,\!$

$p=x_{1}\cdot x_{2}\,\!$

Di conseguenza, sviluppando l'espressione di partenza otteniamo che

$x^{2}-sx+p=x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}\cdot x_{2}=(x-x_{1})(x-x_{2})\,\!$

da cui risulta evidente che $x_{1}$ e $x_{2}$ sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado originale; notare che in questa costruzione, $s$ rappresenta la somma delle soluzioni e $p$ il prodotto: il cerchio di Carlyle consente quindi di trovare in modo semplice le soluzioni di un'equazione di secondo grado in cui sono noti la somma e il prodotto delle radici.

Secondo modo

Un'altra dimostrazione è ricavabile mediante le regole della geometria analitica.

Sia C centro del cerchio di diametro $A(0,1)$ e $B(s,q)$. Esso è il punto medio del segmento $AB$:

$C\left({\frac {0+s}{2}},{\frac {1+q}{2}}\right)=C\left({\frac {s}{2}},{\frac {1+q}{2}}\right)$

Il raggio del cerchio è il segmento $AC$:

$r={\sqrt {\left(0-{\frac {s}{2}}\right)^{2}+\left(1-{\frac {1+q}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {s^{2}}{4}}+{\frac {q^{2}-2q+1}{4}}}}$

Data l'equazione analitica del cerchio:

$(x-x_{C})^{2}+(y-y_{C})^{2}=r^{2}$

$\left(x-{\frac {s}{2}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {1+q}{2}}\right)^{2}={\frac {s^{2}}{4}}+{\frac {q^{2}-2q+1}{4}}$

Le intersezioni con l'asse $x$, chiamate $x_{1}$ e $x_{2}$, sono le soluzioni del sistema:

${\begin{cases}\left(x-{\frac {s}{2}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {1+q}{2}}\right)^{2}={\frac {s^{2}}{4}}+{\frac {q^{2}-2q+1}{4}}\\y=0\end{cases}}$

$x_{1}$ e $x_{2}$ sono pertanto le soluzioni dell'equazione

$\left(x-{\frac {s}{2}}\right)^{2}+\left(0-{\frac {1+q}{2}}\right)^{2}={\frac {s^{2}}{4}}+{\frac {q^{2}-2q+1}{4}}$

$x^{2}-sx+{\frac {s^{2}}{4}}+{\frac {(q+1)^{2}}{4}}={\frac {s^{2}}{4}}+{\frac {q^{2}-2q+1}{4}}$

Da cui:

$x^{2}-sx+{\frac {q}{2}}+{\frac {q}{2}}=0$

$x^{2}-sx+q=0$

$x_{1}$ e $x_{2}$ sono pertanto le soluzioni di questa equazione, come volevasi dimostrare.

Variante

Il centro del cerchio di Carlyle si trova, per costruzione, nel punto medio $M$ del segmento $AB$. Usando solo riga e compasso, non è immediato determinare il punto $B(s,p)$: una soluzione che rende più efficiente la costruzione è di tracciare un segmento $SY$, il cui punto medio coincide con $M$. Per tracciare tale segmento basta riportare $s$ sull'asse delle $x$, mentre sull'asse delle $y$ va riportato il punto $p+1$.

Usi del cerchio di Carlyle

Il cerchio di Carlyle è della massima utilità nella costruzione esatta dei poligoni regolari con l'uso di soli riga e compasso. Con un cerchio di Carlyle infatti si costruisce agevolmente un pentagono regolare mentre, con elaborazioni via via più complesse, si possono costruire anche l'ettadecagono, il 257-gono e il 65537-gono.

Voci correlate

• Costruzioni con riga e compasso
• Poligoni regolari
• Eptadecagono
• 257-gono
• 65537-gono

Altri progetti

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• Wikimedia Commons

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Cerchio di Carlyle, su MathWorld, Wolfram Research.
• Duane W. DeTemple, Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygonal Constructions.