Cerchio di Carlyle

In matematica, il cerchio di Carlyle è un sistema semplice e ingegnoso per risolvere per via geometrica (con l'uso di soli riga e compasso) un'equazione di secondo grado. Prende il nome da Thomas Carlyle il quale, prima di dedicarsi alla storia e alla filosofia, in gioventù aveva mostrato notevoli doti come matematico.

EnunciatoModifica

Data l'equazione

 

in cui   e   sono segmenti di lunghezza data (con segno), è sufficiente disegnare su un piano cartesiano i punti   e  . Costruito un cerchio il cui diametro è identificato dai punti   e  , se tale cerchio interseca l'asse delle  , i punti   e   di intersezione sono le soluzioni reali dell'equazione data.

DimostrazioneModifica

 
Fig. 1: Cerchio di Carlyle per p < 0
 
Fig. 2: Cerchio di Carlyle per p > 0

Primo modoModifica

A destra è riportata le descrizione dei due casi principali, per   maggiore o minore di zero. In entrambi i casi è semplice verificare che

 

Se   (figura 1), per il teorema delle corde abbiamo la seguente equivalenza:

 

ovvero

 

Per   (figura 2) si può analogamente arrivare al risultato

 

Ricapitolando, in entrambi i casi abbiamo:

 
 

Di conseguenza, sviluppando l'espressione di partenza otteniamo che

 

da cui risulta evidente che   e   sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado originale; notare che in questa costruzione,   rappresenta la somma delle soluzioni e   il prodotto: il cerchio di Carlyle consente quindi di trovare in modo semplice le soluzioni di un'equazione di secondo grado in cui sono noti la somma e il prodotto delle radici.

Secondo modoModifica

Un'altra dimostrazione è ricavabile mediante le regole della geometria analitica.

Sia C centro del cerchio di diametro   e  . Esso è il punto medio del segmento  :

 

Il raggio del cerchio è il segmento  :

 

Data l'equazione analitica del cerchio:

 

 

Le intersezioni con l'asse  , chiamate   e  , sono le soluzioni del sistema:

 

  e   sono pertanto le soluzioni dell'equazione

 

 

Da cui:

 

 

  e   sono pertanto le soluzioni di questa equazione, come volevasi dimostrare.

VarianteModifica

Il centro del cerchio di Carlyle si trova, per costruzione, nel punto medio   del segmento  . Usando solo riga e compasso, non è immediato determinare il punto  : una soluzione che rende più efficiente la costruzione è di tracciare un segmento  , il cui punto medio coincide con  . Per tracciare tale segmento basta riportare   sull'asse delle  , mentre sull'asse delle   va riportato il punto  .

Usi del cerchio di CarlyleModifica

Il cerchio di Carlyle è della massima utilità nella costruzione esatta dei poligoni regolari con l'uso di soli riga e compasso. Con un cerchio di Carlyle infatti si costruisce agevolmente un pentagono regolare mentre, con elaborazioni via via più complesse, si possono costruire anche l'ettadecagono, il 257-gono e il 65537-gono.

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