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Teorema del flusso: differenze tra le versioni

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== Forma integrale ==
[[File:Divergence theorem.svg|thumb|[[Superficie (matematica)|Superficie]] chiusa <math>\partial V</math>, [[frontiera (matematica)|frontiera]] del volume <math>V</math>. Sono evidenziateevidenziati lei versori normali esternealla superficie.]]
Sia <math>\mathbf F:\mathbb R^3 \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb R^3</math> un [[campo vettoriale]] definito come:
 
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== Campo gravitazionale ==
{{vedi anche|forza di gravità}}
Il campo di [[forza gravitazionale|accelerazione gravitazionale]] <math>\mathbf g</math> generato da una [[massa (fisica)|massa]] (''[[massa (fisica)#Massa gravitazionale|gravitazionale]]'') ''<math>M''</math> posizionata in ''r<submath>0\mathbf r_0</submath>'' vale:
 
:<math>\mathbf g = -GM \frac{\mathbf r - \mathbf r_0}{\left| \mathbf r- \mathbf r_0 \right|^3}</math>
 
In virtù del teorema di Gauss, il flusso del campo attraverso una qualunque superficie chiusa <math>\partial V</math> che contenga il punto ''r<submath>0\mathbf r_0</submath>'' valeè dato da:
 
:<math>\Phi_{\partial V} (\mathbf g)=-4\pi GM_V</math>
 
mentre se la superficie non contiene ''r<submath>0\mathbf r_0</submath>'' il flusso è nullo. Nel caso di <math>N</math> masse ''m<submath>km_k</submath>'' puntiformi, delle quali <math>k</math> interne alla superficie, si ha:
 
:<math>\Phi_{\partial V} (\mathbf g)=-4\pi G\sum_k m_k</math>
 
Passando al continuo:
:<math>\Phi_{\partial V} (\mathbf g)=-4 \pi G \int_V \rho \mbox {d} v</math>▼
:<math>\mathbf \nabla \cdot \mathbf g = -4 \pi G \rho</math>▼
 
▲:<math>\Phi_{\partial V} (\mathbf g)=-4 \pi G \int_V \rho \mbox {d} v \qquad \mathbf \nabla \cdot \mathbf g = -4 \pi G \rho</math>
dove ρ è la densità di massa volumetrica. Le ultime due relazioni sono valide [[quasi ovunque]], cioè ovunque tranne che in un insieme di misura nulla, quale ad esempio un insieme finito di punti. Il motivo di ciò è che nel caso di masse puntiformi la densità diverge sulle masse stesse, causando una [[divergenza]] infinita del campo. Alternativamente basta notare che la forza gravitazionale diverge nel punto nel quale è localizzata la massa a causa dell'annullarsi del denominatore.▼
 
▲dove ρ<math>\rho</math> è la densità di massa volumetrica. Le ultime due relazioni sono valide [[quasi ovunque]], cioè ovunque tranne che in un insieme di misura nulla, quale ad esempio un insieme finito di punti. Il motivo di ciò è che nel caso di masse puntiformi la densità diverge sulle masse stesse, causando una [[divergenza]] infinita del campo. Alternativamente, basta notare che la forza gravitazionale diverge nel punto nel quale è localizzata la massa a causa dell'annullarsi del denominatore.
== Campo elettrico ==▼
{{vedi anche|campo elettrico|induzione elettrica|equazioni di Maxwell}}▼
 
== Campo elettromagnetico ==
L'[[induzione elettrica]] generata in un qualsiasi materiale come un [[dielettrico]] da una [[carica elettrica|carica totale]] ''Q<sub>V</sub>'' prensente in ''r<sub>0</sub>'' vale:▼
Il teorema di Gauss è di fondamentale importanza nell'ambito dello studio dell'[[interazione elettromagnetica]], che si propaga attraverso il [[campo elettromagnetico]]: si tratta di un [[tensore|campo tensoriale]] il cui comportamento è descritto dalle [[equazioni di Maxwell]].
 
▲=== Campo elettrico ===
:<math>\mathbf D = \frac{Q_V}{4 \pi}\frac{\mathbf r - \mathbf r_0}{\left| \mathbf r- \mathbf r_0 \right|^3} \Rightarrow \Phi_{\partial V} (\mathbf D)=Q_V</math>▼
▲{{vedi anche|campo elettrico|induzione elettrica|equazioni di Maxwell}}
▲L'[[induzione elettrica]] generata in un qualsiasi materiale come un [[dielettrico]] da una [[carica elettrica|carica totale]] ''Q<submath>VQ_V</submath>'' prensente in ''r<submath>0\mathbf r_0</submath>'' vale:
 
▲:<math>\mathbf D = \frac{Q_V}{4 \pi}\frac{\mathbf r - \mathbf r_0}{\left| \mathbf r- \mathbf r_0 \right|^3} \Rightarrow \Phi_{\partial V} (\mathbf D)=Q_V</math>
 
da cui:
 
▲:<math>\mathbf \nabla Phi_{\cdotpartial V} (\mathbf g D)= -4 \pi G \rhoQ_V</math>
 
mentre se la superficie non contiene ''r<submath>0\mathbf r_0</submath>'' il flusso è nullo. Nel caso di più cariche puntiformi interne alla superficie:▼
 
▲mentre se la superficie non contiene ''r<sub>0</sub>'' il flusso è nullo. Nel caso di più cariche puntiformi interne alla superficie:
:<math>\Phi_{\partial V} (\mathbf D)=\sum_k q_k</math>
 
Passandoe passando al continuo si ha:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 20|mencuccini}}</ref>
 
:<math>\Phi_{\partial V} (\mathbf D)=\int_V \rho \mbox {d} v</math>,
 
indove cui ρ<math>\rho</math> è la densità delle cariche libere, cioè senza contare le cariche di [[polarizzazione elettrica|polarizzazione]],. e grazieGrazie al [[teorema della divergenza]], uguagliando gli integrandi si ottiene:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 28|mencuccini}}</ref>
 
:<math>\mathbf \nabla \cdot \mathbf D = \rho</math>
 
dove ρ è la [[densità di carica]] volumetrica. L'ultimaTale equazionerelazione è la prima delle [[equazioni di Maxwell]], ed è valida [[quasi ovunque]]: la densità di carica diverge infatti dove sono presenti cariche localizzate.<br>
 
Nel caso di materiale lineare, omogeneo e [[isotropo]] (come il [[vuoto]]) si può applicare il teorema di Gauss direttamente al [[campo elettrico]] <math>\mathbf E</math>:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 143|mencuccini}}</ref>
 
Il teorema di Gauss assume così le seguenti formulazioni globale e locale:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 144|mencuccini}}</ref>
:<math>\Phi_{\partial V} (\mathbf E) = \frac {Q_V}{\varepsilon} \qquad \mathbf \nabla \cdot \mathbf E = \frac \rho \varepsilon</math>
:<math>\mathbf \nabla \cdot \mathbf E = \frac \rho \varepsilon</math>
 
=== Campo magnetico ===
{{vedi anche|campo magnetico|induzione magnetica}}
A causa dell'assenza di [[monopolo magnetico|monopoli magnetici]], il teorema di Gauss applicato all'[[induzione magnetica]] <math>\mathbf B</math> prendeassume semplicemente la forma:<ref name=solenoidale>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 259|mencuccini}}</ref>
 
:<math>\Phi_{\partial V} (\mathbf B)=\oint_{\partial V} \mathbf B \cdot \mbox{d} S =0 \qquad \mathbf \nabla \cdot \mathbf B =0</math>
 
che esprimonoesprime la [[campo vettoriale solenoidale|solenoidalità]] del [[campo magnetico]]. In particolare, la seconda delle due relazioni è la seconda [[equazioni di Maxwell|equazione di Maxwell]].<br>
 
Una dimostrazione equivalente si basa sul calcolo diretto della divergenza del campo magnetico tramite la [[Legge di Biot-Savart]]:
 
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Utilizzando l'identità del [[prodotto triplo]]:
 
:<math> \mathbf \nabla \cdot ( \mathbf a \times \mathbf b)=\mathbf \nabla \times \mathbf a \cdot \mathbf b - \mathbf a \cdot \mathbf \nabla \times \mathbf b</math>
 
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\mathbf \nabla \times \mathbf \nabla \frac{1}{| \partial r |}=0</math>
 
Tale espressione è identicamente nulla poiché l'[[operatore nabla]] agisce sulle coordinate ''<math>x''</math>, ''<math>y''</math> e ''<math>z''</math>, e non sulle coordinate primate dalle quali dipende la variabile di integrazione, ed inoltre il rotore di una divergenza è identicamente nullo, in quanto i campi conservativi sono irrotazionali.<br>
 
A questo punto è possibile passare dalla forma differenziale a quella integrale: se la divergenza del vettore '''<math>\mathbf B'''</math> è identicamente nulla, un suo qualunque integrale di volume sarà anch'esso nullo. E dunque, sfruttando il teorema della divergenza, il flusso di '''<math>\mathbf B'''</math> attraverso la frontiera del volume sarà nullo.
 
== Applicazioni ==
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_flusso"